Matrica

Matrica është një trajtë e formulave në matematikë e cila ka disa elemente dhe varrësisht nga elemente e saja mund të merr disa forma si drejtëkëndore, katrore etj.

Në përgjithësi matricat emërtohen sipas shkronjave të mëdha A, B, C, ..., M, N, ... dhe shkurt paraqiten në trajtën [$a$_ik]_m,n.

Matrice drejtëkëndore quhet bashkësia prej mn numrave $a$_ik (i=1,2, ..., m; k=1, 2, ..., n} të rradhitura në një tabelë të formës drejtëkëndore e cila përmban m rreshta dhe n shtylla.
$\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & \cdots & 0\end{bmatrix}$

Matricat për herë të parë janë futur në përdorim nga Xhejms Josef Silvester në vitin 1850.

Mbledhja dhe Shumzimi

Mbledhja

Shuma e dy $m \times n$-matricave gjindet, duke mbledhur dy komponentet me koeficient e njëjtë, kjo tregon se mbledhja e matricave është e definuar vetëm për ato që kanë numër të barabartë të rendeve dhe kolonave respektivisht. Shkurtimisht dhe në formë matematikore shkruhet kështu

$A+B := (a_{ij}+b_{ij})_{i=1 , \ldots , m; \ j=1 , \ldots , n}$

Shembull konkret

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 & 5 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 \\ 1+2 & 2+1 & 2+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 \\ 3 & 3 & 3 \end{pmatrix}$

Prodhimi Skalar

Një matricë shumëzohet me një Skalar , nëse të gjithë anëtarët e matricës shumëzohen me skalarin :

$\lambda\cdot A = (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}$

Shembull konkret

$2 \cdot \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot1 & 2 \cdot3 & 2 \cdot2 \\ 2 \cdot1 & 2 \cdot2 & 2 \cdot2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 6 & 4 \\ 2 & 4 & 4 \end{pmatrix}$

Prodhimi i dy matricave

Prodhimi i dy matricave është pak më i komplikuar se sa mbledhja dhe shumëzimi i matricës me skalar. Dy matrica $A = (a_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots m}$ dhe $B = (b_{ij})_{i=1\ldots m,\;j=1\ldots n}$ shumëzohen, duke prodhuar rendin e parë të matricës se parë me kolonën e parë të matricës së dytë për t'u fituar anëtari i parë.

$A \cdot B = (c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n}$   dhe  $c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}$

Shembull konkret

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 & 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 6 + 2 \cdot 3 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot (-1) + 2 \cdot 2 + 3 \cdot (-3) \\ 4 \cdot 6 + 5 \cdot 3 + 6 \cdot 0 & 4 \cdot (-1) + 5 \cdot 2 + 6 \cdot (-3) \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 & -12 \end{pmatrix}$

Prodhimi i dy matricave eshte cdohere asociativ:

$(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)$

Vlen gjithashtu ligji i shperndarjes:

$(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C$

Por te prodhimi i dy matricave nuk vlen ligji i nderrimit

Shiko dhe këtë

• Përcaktori
• Wiki Libri: Matricat dhe përcaktorët