Matrica

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Matrica është një trajtë e formulave në matematikë e cila ka disa elemente dhe varrësisht nga elemente e saja mund të merr disa forma si drejtëkëndore, katrore etj.

Në përgjithësi matricat emërtohen sipas shkronjave të mëdha A, B, C, ..., M, N, ... dhe shkurt paraqiten në trajtën [aik]m,n.

Matrice drejtëkëndore quhet bashkësia prej mn numrave aik (i=1,2, ..., m; k=1, 2, ..., n} të rradhitura në një tabelë të formës drejtëkëndore e cila përmban m rreshta dhe n shtylla.[1]

\begin{bmatrix} 0 & \cdots & 0 \\ \vdots &

\ddots & \vdots \\ 0 & \cdots &
0\end{bmatrix}

Matricat për herë të parë janë futur në përdorim nga Xhejms Josef Silvester në vitin 1850.

Mbledhja dhe Shumzimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Mbledhja[redakto | redakto tekstin burimor]

Shuma e dy m \times n-matricave gjindet, duke mbledhur dy komponentet me koeficient e njëjtë, kjo tregon se mbledhja e matricave është e definuar vetëm për ato që kanë numër të barabartë të rendeve dhe kolonave respektivisht. Shkurtimisht dhe në formë matematikore shkruhet kështu

A+B := (a_{ij}+b_{ij})_{i=1 , \ldots , m; \ j=1 , \ldots , n}
Shembull konkret

  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 2 & 2
  \end{pmatrix}
  +
  \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 5 \\
    2 & 1 & 1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    1+0 & 3+0 & 2+5 \\
    1+2 & 2+1 & 2+1
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 7 \\
    3 & 3 & 3
  \end{pmatrix}


Prodhimi Skalar[redakto | redakto tekstin burimor]

Një matricë shumëzohet me një Skalar , nëse të gjithë anëtarët e matricës shumëzohen me skalarin :

\lambda\cdot A = (\lambda\cdot a_{ij})_{i=1, \ldots , m; \ j=1, \ldots , n}
Shembull konkret
2 \cdot
  \begin{pmatrix}
    1 & 3 & 2 \\
    1 & 2 & 2
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    2 \cdot1 & 2 \cdot3 & 2 \cdot2 \\
    2 \cdot1 & 2 \cdot2 & 2 \cdot2
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    2 & 6 & 4 \\
    2 & 4 & 4
  \end{pmatrix}

Prodhimi i dy matricave[redakto | redakto tekstin burimor]

Prodhimi i dy matricave është pak më i komplikuar se sa mbledhja dhe shumëzimi i matricës me skalar. Dy matrica A = (a_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots m} dhe B = (b_{ij})_{i=1\ldots m,\;j=1\ldots n} shumëzohen, duke prodhuar rendin e parë të matricës se parë me kolonën e parë të matricës së dytë për t'u fituar anëtari i parë.

A \cdot B = (c_{ij})_{i=1\ldots l,\;j=1\ldots n}   dhe   c_{ij}=\sum_{k=1}^m a_{ik}\cdot b_{kj}
Shembull konkret

  \begin{pmatrix}
    1 & 2 & 3 \\
    4 & 5 & 6 \\
  \end{pmatrix}
  \cdot
  \begin{pmatrix}
    6 & -1 \\
    3 & 2 \\
    0 & -3
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
     1 \cdot 6  +  2 \cdot 3  +  3 \cdot 0 &
     1 \cdot (-1) +  2 \cdot 2 +  3 \cdot (-3) \\
     4 \cdot 6  +  5 \cdot 3  +  6 \cdot 0 &
     4 \cdot (-1) +  5 \cdot 2 +  6 \cdot (-3) \\
  \end{pmatrix}
  =
  \begin{pmatrix}
    12 & -6 \\
    39 & -12
  \end{pmatrix}

Prodhimi i dy matricave eshte cdohere asociativ:

(A \cdot B) \cdot C = A \cdot (B \cdot C)

Vlen gjithashtu ligji i shperndarjes:

(A + B) \cdot C = A \cdot C + B \cdot C

Por te prodhimi i dy matricave nuk vlen ligji i nderrimit

Burimi i të dhënave[redakto | redakto tekstin burimor]

[1]

Shiko dhe këtë[redakto | redakto tekstin burimor]