Eigenfunksioni

Kjo zgjidhje e problemit të daulleve vibruese është, në çdo moment në kohë, një eigenfunksion i operatorit të Laplasit në një disk.

Në matematikë, një eigenfunksion i një operatori linear $D$ i përcaktuar në një hapësirë funksioni është çdo funksion jo zero. $f$ në atë hapësirë që, kur veprohet nga $D$, shumëzohet vetëm me një faktor shkallëzues të quajtur një vlerë vetjake . Si ekuacion, ky kusht mund të shkruhet si

$$Df=\lambda f$$

për disa eigenvlera skalare $\lambda .$ Zgjidhjet e këtij ekuacioni mund t'i nënshtrohen gjithashtu kushteve kufitare që kufizojnë eigenvlerat dhe eigenfunksionet e lejueshme.

Një eigenfunksion është një lloj eigenvektori .

Shembull derivativ

wNjë klasë e përdorur gjerësisht e operatorëve linearë që veprojnë në hapësira të pafundme dimensionale janë operatorë diferencialë në hapësirën C ^∞ të funksioneve reale ose komplekse pafundësisht të diferencueshme të një argumenti real ose kompleks $t$ . Për shembull, merrni parasysh operatorin e derivatit ${\textstyle {\frac {d}{dt}}}$ me ekuacionin e vlerave vetjake

$${\frac {d}{dt}}f(t)=\lambda f(t).$$

Ky ekuacion diferencial mund të zgjidhet duke shumëzuar të dyja anët me ${\textstyle {\frac {dt}{f(t)}}}$ dhe duke e integruar. Zgjidhja e tij, funksioni eksponencial

$$f(t)=f_{0}e^{\lambda t},$$

është eigenfunksioni i operatorit derivatues, ku $f_{0}$ është një parametër që varet nga kushtet kufitare. Vini re se në këtë rast eigenfunksioni është në vetvete një funksion i eigenvlerës së tij λ, e cila mund të marrë çdo vlerë reale ose komplekse. Në veçanti, vini re se për λ = 0 eigjenfunksioni $f(t)$ është një konstante.

Supozoni në shembull se $f(t)$ i nënshtrohet kushteve kufitare $f(0)=1$ dhe ${\textstyle \left.{\frac {df}{dt}}\right|_{t=0}=2}$ . Më pas e gjejmë atë

ku λ = 2 është e vetmja vlerë vetjake e ekuacionit diferencial që plotëson edhe kushtin kufitar.

Lidhja me eigenvlerat dhe eigenvektorët e matricave

Eigenfunksionet mund të shprehen si vektorë shtyllë dhe operatorët linearë mund të shprehen si matrica, megjithëse mund të kenë dimensione të pafundme. Si rezultat, shumë nga konceptet që lidhen me eigenvektorët e matricave kalojnë në studimin e eigenfunksioneve.

Përcaktoni prodhimin e brendshëm në hapësirën e funksionit në të cilën $D$ është përcaktuar si

$$\langle f,g\rangle =\int _{\Omega }\ f^{*}(t)g(t)dt,$$

e integruar në një shtrirje interesi për $t$ të quajtur Ω. * tregon të konjuguarën komplekse .

Supozoni se hapësira e funksionit ka një bazë ortonormale të dhënë nga bashkësia e funksioneve , $\{u_{1}(t),u_{2}(t),...,u_{n}(t)\}$ ku n mund të jetë e pafundme. Për bazën ortonormale,

$$\langle u_{i},u_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt=\delta _{ij}={\begin{cases}1&i=j\\0&i\neq j\end{cases}},$$

ku $\delta _{ij}$ është delta Kronecker dhe mund të mendohet si elementë të matricës identitare .

Funksionet mund të shkruhen si një kombinim linear i funksioneve të bazës,

$$f(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}u_{j}(t),$$

për shembull nëpërmjet një zgjerimi Furier të $f(t)$. Koeficientët $b_{j}$ mund të grumbullohen në një n nga 1 vektor shtyllë b = [b₁ b₂ … b_n]^T. Në disa raste të veçanta, siç janë koeficientët e serisë Furier të një funksioni sinusoidal, ky vektor kolone ka dimension të fundëm.

Për më tepër, përcaktoni një paraqitje matricore të operatorit linear $D$ me elementë

$$A_{ij}=\langle u_{i},Du_{j}\rangle =\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt.$$

Ne mund ta shkruajmë funksionin $Df(t)$ ose si një kombinim linear i funksioneve bazë ose si D që vepron mbi zgjerimin e $f(t)$,

$$Df(t)=\sum _{j=1}^{n}c_{j}u_{j}(t)=\sum _{j=1}^{n}b_{j}Du_{j}(t).$$

Marrja e prodhimit të brendshëm të secilës anë të këtij ekuacioni me një funksion bazë arbitrare $u_{i}(t)$,

$${\begin{aligned}\sum _{j=1}^{n}c_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)u_{j}(t)dt&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\int _{\Omega }\ u_{i}^{*}(t)Du_{j}(t)dt,\\c_{i}&=\sum _{j=1}^{n}b_{j}A_{ij}.\end{aligned}}$$

Zbatimet

Fijet vibruese

Forma e një valë në këmbë në një varg të fiksuar në kufijtë e saj është një shembull i një eigenfunksioni të një operatori diferencial. Eigenvlerat e pranueshme rregullohen nga gjatësia e vargut dhe përcaktojnë frekuencën e lëkundjes.

Le të shënojmë me $h(x,t)$, zhvendosjen tërthore të një korde elastike të tendosur, siç janë telat vibruese të një instrumenti me tela, në funksion të vendodhjes $x$ përgjatë vargut dhe të kohës $t$ . Duke zbatuar ligjet e mekanikës në pjesë pambarimisht të vogla të fijes, funksioni $h$ kënaq ekuacionin diferencial të pjesshëm

$${\frac {\partial ^{2}h}{\partial t^{2}}}=c^{2}{\frac {\partial ^{2}h}{\partial x^{2}}},$$

i cili quhet ekuacioni valor (njëdimensional). Këtu c është një shpejtësi konstante që varet nga tensioni dhe masa e vargut.

Ky problem është i përshtatshëm për metodën e ndarjes së ndryshoreve . Nëse supozojmë se $h(x,t)$ mund të shkruhet si prodhim i formës $X(x)T(t)$, mund të formojmë një çift ekuacionesh diferenciale të zakonshme:

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}X=-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}X,\qquad {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}T=-\omega ^{2}T.$$

Secila prej tyre është një ekuacion i vlerave vetjake me eigenvlera ${\textstyle -{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}$ dhe $-\omega ^{2}$, përkatësisht. Për çdo vlerë të $\omega$ dhe $c$, ekuacionet kënaqen nga funksionet

$$X(x)=\sin \left({\frac {\omega x}{c}}+\varphi \right),\qquad T(t)=\sin(\omega t+\psi ),$$

ku këndet fazore φ dhe ψ janë konstante reale arbitrare.

Nëse vendosim kushte kufitare, për shembull që skajet e fijes janë të fiksuara në x = 0 dhe x = L, përkatësisht X (0) = X ( L ) = 0, dhe se T (0) = 0, ne kufizojmë eigenvlerat. Për këto kushte kufitare, sin(φ ) = 0 dhe sin(ψ ) = 0, kështu që këndet e fazës φ = ψ = 0, dhe

$$\sin \left({\frac {\omega L}{c}}\right)=0.$$

Kështu fija nën dridhje pranon një familje valësh të formës:

$$h(x,t)=\sin \left({\frac {n\pi x}{L}}\right)\sin(\omega _{n}t).$$

Ekuacioni i Shrodingerit

Në mekanikën kuantike, ekuacioni i Shrodingerit

$$i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi (\mathbf {r} ,t)=H\Psi (\mathbf {r} ,t)$$

me operatorin Hamiltonian

$$H=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} ,t)$$

mund të zgjidhet me ndarjen e ndryshoreve nëse Hamiltoniani nuk varet në mënyrë eksplicite nga koha. Në atë rast, funksioni valor ${\boldsymbol {\Psi }}({\boldsymbol {r}},t)=\varphi ({\boldsymbol {r}})T(t)$ çon në dy ekuacione diferenciale,

$H\varphi ({\boldsymbol {r}})=E\varphi ({\boldsymbol {r}})$Stampa:NumBlk$i\hbar {\frac {\partial T(t)}{\partial t}}=ET(t)$Stampa:NumBlkTë dyja këto ekuacione diferenciale janë ekuacione eigenvlerash me eigenvlera E . Siç tregohet në një shembull të mëparshëm, zgjidhja e ekuacionit të fundit është eksponenciale

$$T(t)=e^{{-iEt}/{\hbar }}.$$

Ekuacioni i parafundit është ekuacioni i Shrodingerit i pavarur nga koha. Eigenfunksionet $\varphi _{k}$ të operatorit Hamiltonian janë gjendje stacionare të sistemit mekanik kuantik, secila me një energji korresponduese $E_{k}$ . Ato përfaqësojnë gjendjet e lejueshme energjetike të sistemit dhe mund të kufizohen nga kushtet kufitare.

Operatori Hamiltonian H është një shembull i një operatori hermitian, eigenfunksionet e të cilit formojnë një bazë ortonormale. Kur Hamiltoniani nuk varet në mënyrë eksplicite nga koha, zgjidhjet e përgjithshme të ekuacionit të Shrodingerit janë kombinime lineare të gjendjeve të palëvizshme të shumëzuara me $T(t)$ lëkundëse, ${\textstyle \Psi (\mathbf {r} ,t)=\sum _{k}c_{k}\varphi _{k}(\mathbf {r} )e^{{-iE_{k}t}/{\hbar }}}$ ose, për një sistem me një spektër të vazhdueshëm,

$$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\int dE\,c_{E}\varphi _{E}(\mathbf {r} )e^{{-iEt}/{\hbar }}.$$