Numrat natyrorë

Numra natyralë janë numra të plotë si 1,2,3 ... dhe për këta numra vlenë rregulla "vjen drejtëpërdrejt pas" ndër këta numra nuk llogaritet numri zero. Me fjalë të tjera gjithë numrat e plotë pozitivë ose në formulë duket kështu:

$\mathbb {N} =\{\,1,2,3,\ldots ,n,n+1,\ldots \,\}$

Matematikanët të cilët kanë punuar në përkufizimin e numrave natyral është i njohur G. Peano (1858-1931) i cili më 1899 aksiomatizoi aritmetikën e numrave realë.

Përkufizimi i numrave natyralë në matematikë:

Numrat natyralë quhen elementet e çdo bashkësie jo të zbrazët $N$ në të cilen është përcaktuar relacioni "vjen drejtëpërdrejt pas" që plotëson këto aksioma:

Aksiomat e Peanos

• 1.1 Aksioma - Ekziston numri natyral ^{$\ 1$ i cili nuk vjen drejtpërdrejt pas asnjë numri natyral,}

$(\forall a\in \mathbb {N} )a^{\prime }\neq 1$

• 1.2 Aksioma - Për secilin numër natyral $a\in \mathbb {N}$ , ekiston vetëm një numër natyral $a^{\prime }$ që vjenë drejtpërdrejt pas tij,

$(\forall a,b\in \mathbb {N} )a=b\Rightarrow a^{\prime }=b^{\prime }$

• 1.3 Aksioma - Secili numër natyral $a^{\prime }\in \mathbb {N}$ vjen drejtpërdrejt pas jo më shumë se një numri natyral $\ a$,

$(\forall a,b\in \mathbb {N} )a^{\prime }=b^{\prime }\Rightarrow a=b$

• 1.4 Aksioma e induksionit - Cilado bashkësi e numrave natyralë $\mathbb {M}$ që ka këto veti:

(a) $1\in \mathbb {M}$ dhe (b) $a\in \mathbb {M} \Rightarrow a^{\prime }\in \mathbb {M}$

përmban të gjithë numrat natyralë,

$\mathbb {M} =\mathbb {N} \Leftarrow {\begin{cases}\ 1\in \mathbb {M} \\a\in \mathbb {M} \Rightarrow a^{\prime }\in \mathbb {M} \end{cases}}$