Ekuacioni diferencial i pjesshëm parabolik

Një ekuacion diferencial i pjesshëm parabolik është një lloj ekuacioni diferencial i pjesshëm (EDP). EDP-të parabolike përdoren për të përshkruar një shumëllojshmëri të gjerë të dukurive që varen nga koha, duke përfshirë përcjelljen e nxehtësisë, difuzionin e grimcave dhe çmimin e instrumenteve investuese derivative .

E ç'është një EDP parabolike?

Për të përcaktuar llojin më të thjeshtë të një EDP-je parabolike, merrni parasysh një funksion me vlera reale $u(x,y)$ e dy ndryshoreve reale të pavarura, $x$ dhe $y$ . Një PDE e rendit të dytë, lineare, me koeficient konstantë për $u$ merr formën

$Au_{xx}+2Bu_{xy}+Cu_{yy}+Du_{x}+Eu_{y}+F=0,$

dhe ky EDP klasifikohet si parabolik nëse koeficientët plotësojnë kushtin

$B^{2}-4AC=0.$

Zakonisht $x$ paraqet pozicion njëdimensional dhe $y$ përfaqëson kohën, dhe EDP zgjidhet në varësi të kushteve të përcaktuara fillestare dhe kufitare.

Emri "parabolik" përdoret sepse supozimi mbi koeficientët është i njëjtë me kushtin për ekuacionin e gjeometrisë analitike $Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ për të përcaktuar një parabolë planare.

Shembulli themelor i një EDP parabolik është ekuacioni i nxehtësisë njëdimensionale,

$u_{t}=\alpha \,u_{xx},$

ku $u(x,t)$ është temperatura në atë kohë $t$ dhe në vendndodhjen $x$ përgjatë një shufre të hollë dhe $\alpha$ është një konstante pozitive ( difuziviteti termik ). Simboli $u_{t}$ nënkupton derivatin e pjesshëm të $u$ në lidhje me ndryshoren kohë $t$, dhe në mënyrë të ngjashme $u_{xx}$ është derivati i dytë i pjesshëm në lidhje me $x$ . Për këtë shembull, $t$ luan rolin e $y$ në EDP të përgjithshme lineare të rendit të dytë: $A=\alpha$, $E=-1$, dhe koeficientët e tjerë janë zero.

Ekuacioni i nxehtësisë thotë, përafërsisht, se temperatura në një kohë dhe pikë të caktuar rritet ose bie me një shpejtësi proporcionale me ndryshimin midis temperaturës në atë pikë dhe temperaturës mesatare pranë asaj pike. Madhësia $u_{xx}$ mat se sa larg është temperatura nga përmbushja e vetive të vlerës mesatare të funksioneve harmonike .

Koncepti i një EDP parabolik mund të përgjithësohet në disa mënyra. Për shembull, rrjedha e nxehtësisë përmes një trupi material rregullohet nga ekuacioni tredimensional i nxehtësisë ,

$u_{t}=\alpha \,\Delta u,$

ku

$\Delta u:={\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}$

tregon operatorin e Laplasit që vepron mbi $u$ . Ky ekuacion është prototipi i një EDP parabolik shumëdimensional.

Duke vënë në dukje se $-\Delta$ është një operator eliptik sugjeron një përkufizim më të gjerë të një EDP parabolik:

$u_{t}=-Lu,$

ku $L$ është një operator eliptik i rendit të dytë (që nënkupton se $L$ duhet të jetë pozitiv ; një rast ku $u_{t}=+Lu$ konsiderohet më poshtë).

Zgjidhje

Nën supozime të gjera, një problem me vlerë fillestare/kufitare për një EDP parabolik linear ka një zgjidhje për të gjitha vlerat kohore. Zgjidhja $u(x,t)$, në funksion të $x$ për një kohë të caktuar $t>0$, në përgjithësi është më e butë se të dhënat fillestare $u(x,0)=u_{0}(x)$ .