Formula e Koshiut për integrimin e përsëritur, e quajtur sipas Augustin-Louis Cauchy, lejon që të ngjeshen n integrale të pacaktuara të një funksioni, në një integral të vetëm (krh. formulën e Cauchy-së ).
Le të jetë f një funksion i vazhdueshëm në vijën reale. Pastaj integrali i n- të i përsëritur i f me pikën bazë a, jepet me integrim të vetëm
Një provë jepet me induksion . Rasti bazë me n=1 është i parëndësishëm, pasi është i njëvlershëm me:
Tani, supozoni se kjo është e vërtetë për n, dhe le ta vërtetojmë atë për n +1. Së pari, duke përdorur rregullin integral të Lajbnicit, vini re se
Pastaj, duke zbatuar hipotezën e induksionit,
Vini re, termi brenda kllapës katrore ka n-herë integrim të njëpasnjëshëm dhe kufiri i sipërm i integralit më të jashtëm brenda kllapës katrore është . Kështu, duke krahasuar me rastin për n=n, dhe duke zëvendësuar të formulës në hapin e induksionit n=n me përkatësisht për të marrë
Vendosja e kësaj shprehje brenda kllapës katrore rezulton në
- Është treguar se ky pohim është i vërtetë për rastin bazë .
- Nëse pohimi është i vërtetë për , atëherë është treguar se pohimi është i vërtetë për .
- Kështu ky pohim është vërtetuar për të gjithë numrat e plotë pozitivë.
Kjo plotëson provën.
Formula Cauchy përgjithësohet në parametra jo të plotë nga integrali Riemann-Liouville, ku zëvendësohet nga , dhe faktoriali zëvendësohet nga funksioni gama . Dy formulat pajtohen kur .
Të dy formula Cauchy dhe integrali Riemann-Liouville përgjithësohen në dimensione arbitrare nga potenciali Riesz .