Integrali Frullani

Në matematikë, integralet Frullani janë një lloj specifik i integralit jo të vetë të quajtur sipas matematikanit italian Giuliano Frullani . Integralet janë të formës

$\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x$

ku $f$ është një funksion i përcaktuar për të gjithë numrat realë jonegativë që ka një kufi në $\infty$, të cilin e shënojmë me $f(\infty )$ .

Formula e mëposhtme për zgjidhjen e tyre të përgjithshme vlen në kushte të caktuara: 

$\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,{\rm {d}}x={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}\ln {\frac {a}{b}}.$

Dëshmi

Një provë e thjeshtë e formulës mund të arrihet duke përdorur teoremën themelore të analizës matematike për të shprehur të integrueshmin si një integral të trajtës$f'(xt)={\frac {\partial }{\partial t}}\left({\frac {f(xt)}{x}}\right)$ :

${\begin{aligned}{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}&=\left[{\frac {f(xt)}{x}}\right]_{t=b}^{t=a}\,\\&=\int _{b}^{a}f'(xt)\,dt\\\end{aligned}}$

dhe më pas përdorni teoremën e Tonellit për të shkëmbyer dy integralet:

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }{\frac {f(ax)-f(bx)}{x}}\,dx&=\int _{0}^{\infty }\int _{b}^{a}f'(xt)\,dt\,dx\\&=\int _{b}^{a}\int _{0}^{\infty }f'(xt)\,dx\,dt\\&=\int _{b}^{a}\left[{\frac {f(xt)}{t}}\right]_{x=0}^{x\to \infty }\,dt\\&=\int _{b}^{a}{\frac {f(\infty )-f(0)}{t}}\,dt\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}{\Big (}\ln(a)-\ln(b){\Big )}\\&={\Big (}f(\infty )-f(0){\Big )}\ln {\Big (}{\frac {a}{b}}{\Big )}\\\end{aligned}}$

Vini re se integrali në rreshtin e dytë të mësipërm është marrë mbi intervalin $[b,a]$, jo $[a,b]$ .

Zbatimet

Formula mund të përdoret për të nxjerrë një paraqitje integrale për logaritmin natyror $\ln(x)$ duke lënë $f(x)=e^{-x}$ dhe $a=1$ :

${\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}-e^{-bx}}{x}}\,{\rm {d}}x={\Big (}\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{e^{n}}}-e^{0}{\Big )}\ln {\Big (}{\frac {1}{b}}}{\Big )}=\ln(b)$