Koeficientët e binomit

Koeficientët e binomit përkufizohen për një numër natyral n dhe për të gjithë numrat natyral k jo më të mëdhenj se n si numri i nënbashkësive me k elemente të një bashkësie me n elemente. Shënojmë ${n \choose k}$ (lexohet « n mbi k » ). Duke përdorur faktorielin mund të shënojmë :

$${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}$$

Këta numra paraqiten në shumë degë të matematikës : zhvillimi i binomit, zbërthimi në seri të pafundme , numri i kombinacioneve pa përsëritje, kanë zbatim në teorinë e gjasës etj.

Përkufizimi algjebrik

${\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k!}}={\begin{cases}\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}&{\mbox{nëse }}k\in [\![0;n]\!]\quad {\mbox{(1)}}\\\qquad 0&{\mbox{përndryshe}}\end{cases}}$

Koeficientët e binomit e plotësojnë relacionin rekurent:

${n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1}\qquad {\mbox{(2)}}$

i ciliquhet formula e Pascalit.

Ky relacion na mundëson të formojmë trekëndëshin e Pascalit për vlera të vogla të n :

rreshti 0:    1
rreshti 1:    1   1
rreshti 2:    1   2   1
rreshti 3:    1   3   3   1
rreshti 4:    1   4   6   4   1
rreshti 5:    1   5   10  10  5   1
rreshti 6:    1   6   15  20  15  6   1
rreshti 7:    1   7   21  35  35  21  7   1

Binomi i Newtonit

Koeficientët e binomit paraqiten gjatë zbërthimit të fuqisë së n^të të binomit x + y :

$(x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}\qquad (3)$

Nëse p.sh e vërejmë rreshtin e pestë të trkëndëshit të Pascalit kemi se :

$\ (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}\,$ .

Shih edhe

• Kombinacioni
• Permutacioni
• Faktorieli