Kriteri i Mihajllovit për stabilitet

Heje

Mihajllovi më 1938 përpunoi një metodë (kriter) me anë të së cilës mund të shqyrtohet stabiliteti i sistemit rregullues automatik duke analizuar formën e hodografit të Mihajllovit të përfituar nga ekuacioni karakteristik i sistemit. Është kriter frekuencorë dhe mundëson që nga inçizimi i karateristikës frekuencore të sistemit të hapur, të konkludohet për stabilitetin absolut të sistemit të mbyllur. Pra më anë të kësaj metode mund të caktojmë vetëm nëse sistemi është stabil apo jo, dhe nuk nuk mund të konkludojmë asgjë mbi shkallën e stabilitetit të sistemit apo mbi ndikimin e parametrave të sistemit në stabilitet.

Të metat e kësaj metodë ndaj kriterit të Nyquist-it janë:

• nuk mund të caktohet ndikimi i paramterave në stabilitetin e sistemit andaj nuk përdoret gjatë sintezës së sistemeve të rregullimit
• matematikisht është shumë voluminoz, sidomos për sistemet e rëndit më të lartë se katër.

Përkufizimi formal

Le të jetë dhënë ekuacioni karakteristik i sistemit të mbyllur në formën:

$M(s)=\sum _{i=0}^{N}a_{i}s^{i}=a_{n}s^{n}+a_{n-1}s^{n-1}+\dots +a_{1}s+a_{0}$

ku $M(s)$ e quajmë polinomi i Mihajllovit.

Që sistemi të jetë stabil duhet që të gjitha polet e sistemit të jenë në pjesën e majtë të rrafshit kompleks. Duke pasur parasysh këtë, nga parimi i argumentit mund të parashtrojmë kushtin që ndryshimi i argumentit duhet të jetë:

$\Delta argM(j\omega )=n\pi$

ku $n$ është rendi i sistemit.

Duke marrë zëvëndësimin $s=j\omega$ do fitojmë funksionin kompleks:

$M(j\omega )=a_{n}({j\omega })^{n}+a_{n-1}({j\omega })^{n-1}+\dots +ja_{1}\omega +a_{0}=U(\omega )+jV(\omega )$

Lakroja e fituar nga ky funksion kompleks quhet hodografi i Mihajllovit.

Ku pjesa reale $U(\omega )$ dhe imagjinare $V(\omega )$ janë:

• $U(\omega )=a_{0}-a_{2}\omega ^{2}+a_{4}\omega ^{4}\dots$
• $V(\omega )=a_{1}\omega _{1}-a_{3}\omega ^{3}+a_{5}\omega ^{5}\dots$

Shohim se për $\omega =-\omega$, funksioni $M(j\omega )$ paraqet madhësi komplekse. Andaj për këtë rast, nga parimi i argumentit kriteri për stabilitet do jetë:

$\Delta argM(j\omega )=n{\frac {\pi }{2}}$ për $0<\omega <\infty$

Pikërisht ekuacioni i mësipërm na jep konditën e nevojshme dhe të mjaftueshme që sistemi i rregullimit automatik të jetë stabil. Pra që sistemi i përshkruar të jetë stabil duhet që hodografi i Mihajllovit të kalojë në menyrë të rregullt aq kuadrante sa është rendi i sistemit.

Shiko Gjithashtu

• Stabiliteti i sistemve linare të kontrollit
• Kriteri i Hurwitz-it
• Kriteri i Routh-it
• Kriteri i Nyquist-it për stabilitet