Metoda Hajrizaj për llogaritjen e determinantës së rendit të tretë

Përveq metodave ekzistuese për llogaritjen e determinantës së rendit të tretë siqë janë: Metoda e Sarrus-it, Metoda e trekëndëshit, Metoda e kondensimit të Chio-së, Metoda e kondensimit të Dodgson-it, Dardan Hajrizaj ka paraqitur një metodë të re për llogaritjen e determinantës së rendit të tretë . Përparësia e kësaj metode në krahasim me metodat tjera të njohura deri më tani është llogaritja e shpejt, sepse krijohet një skemë e lehtë për llogaritje.

Le të jetë një determinantë e rendit të tretë:

$|A|={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix}}$

Le të përshkruajmë përpara rreshtit të parë elementin që ndodhet në prerje të rreshtit të parë me shtyllën e tretë dhe përpara rreshtit të tretë elementin që ndodhet në prerje të rreshtit të tretë me shtyllën e tretë (a₁₃ dhe a₃₃), poashtu në mënyrë të ngjashme le të përshkruajmë pas rreshtit të parë dhe të tretë elementet (a₁₁ dhe a₃₁), përkatësisht. Atëherë fitohet një skemë e tillë (Skema 1.):

Skema 1

Kjo skemë përbëhet nga gjashtë diagonale me nga tre elemente të ndryshme të determinantës. Produktet e elementeve në tre diagonalet në anën e majtë marrin parashenjën “+” ndërsa produktet e elementeve në tre diagonalet tjera në anën e djathtë marrin parashenjën “-“. Në këtë mënyrë fitohen tre gjymtyrët me shenja “+” dhe tre gjymtyrët tjera me shenja “-“ , të cilat në fakt paraqesin formulën përkufizuese për llogaritjen e determinantës së rendit të tretë.

Kjo metodë e re mund ti ketë edhe dy skema të tjera që fitohen në mënyrë analoge sikurse skema paraprake (Skema 1.) vetëm që tek këto dy skema tjera manipulojmë me elemente të shtyllave dhe rreshtave tjerë nga ajo e skemës 1. Skemat tjera të kësaj metode janë paraqitur në vazhdim (Skema 2, Skema 3) :

Skema 2

Skema 3

Vërtetimi

Duke zbatuar metodën e re me Skemën 1., Skemën 2. dhe Skemën 3. për njehsimin e determinantës së rendit të tretë kemi:

${}=a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}+a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}$

${}=a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}+a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}$

${}=a_{13}\cdot a_{21}\cdot a_{32}+a_{11}\cdot a_{22}\cdot a_{33}+a_{12}\cdot a_{23}\cdot a_{31}-a_{12}\cdot a_{21}\cdot a_{33}-a_{13}\cdot a_{22}\cdot a_{31}-a_{11}\cdot a_{23}\cdot a_{32}$

Kjo metodë e re, krahasuar me metodat tjera të njohura gjerë më tani është një nga metodat më të lehta dhe më të shpejta për përvetësim dhe për llogaritje të determinantës së rendit të tretë, çka paraqet edhe vetë përparësitë e kësaj metode.