Mosbarazimi Hermite-Hadamard

Në matematikë, mosbarazimi Hermite-Hadamard, i quajtur pas Charles Hermite dhe Jacques Hadamard dhe ndonjëherë i quajtur edhe mosbarazimi i Hadamardit, thotë se nëse një funksion $f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$ është konveks, atëherë qëndron zinxhiri i mëposhtëm i mosbarazimeve:

$f\left({\frac {a+b}{2}}\right)\leq {\frac {1}{b-a}}\int _{a}^{b}f(x)\,dx\leq {\frac {f(a)+f(b)}{2}}.$

Mosbarazimi është përgjithësuar në dimensione më të larta: nëse $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}$ është një fushë e kufizuar, konvekse dhe $f:\Omega \rightarrow \mathbb {R}$ është një funksion konveks pozitiv, atëherë

${\frac {1}{|\Omega |}}\int _{\Omega }f(x)\,dx\leq {\frac {c_{n}}{|\partial \Omega |}}\int _{\partial \Omega }f(y)\,d\sigma (y)$

ku $c_{n}$ është një konstante në varësi vetëm nga dimensioni.

Një përfundim mbi integralet e tipit Vandermonde

Supozoni se $-\infty <a<b<\infty$, dhe zgjidhni n vlera të dallueshme $\{x_{j}\}_{j=1}^{n}$ nga $(a,b)$ . Le të jetë $f:[a,b]\mapsto \mathbb {R}$ konveks, dhe le shënojmë me $I$ veprimin "integralin që fillon nga a " ; kjo është,

$(If)(x)=\int _{a}^{x}{f(t)\,dt}$ .

Pastaj,

$\sum _{i=1}^{n}{\frac {(I^{n-1}F)(x_{i})}{\prod _{j\neq i}{(x_{i}-x_{j})}}}\leq {\frac {1}{n!}}\sum _{i=1}^{n}f(x_{i})$

Barazia vlen për të gjitha $\{x_{j}\}_{j=1}^{n}$ nëse $f$ është linear, dhe për të gjitha $f$ nëse $\{x_{j}\}_{j=1}^{n}$ është konstante, në kuptimin që

$\lim _{\{x_{j}\}_{j}\to \alpha }{\sum _{i=1}^{n}{\frac {(I^{n-1}F)(x_{i})}{\prod _{j\neq i}{(x_{i}-x_{j})}}}}={\frac {f(\alpha )}{(n-1)!}}$

Rezultati vjen nga induksioni për $n$ .