Parimi i mirë-rënditjes

Në matematikë, parimi i mirë-rënditjes thotë se çdo bashkësi jo bosh i numrave të plotë pozitiv përmban një element më të vogël. Me fjalë të tjera, bashkësia i numrave të plotë pozitiv është i renditur mirë sipas renditjes së tij "natyrore" ose "madhësive" në të cilën {x paraprin y nëse dhe vetëm nëse y është ose x ose shuma e x dhe disa numra të plotë pozitiv (renditjet e tjera përfshijnë renditjen {2,4,6,...}; dhe {1,3,5,...}).

Fraza "parimi i mirë-rënditjes" nganjëherë merret si sinonim me "teoremën e mirë-rënditjes". Në raste të tjera kuptohet se është propozimi që bashkësia e numrave të plotë {...,-2,-1,0,1,2,3,...} përmban një nënbashkësi të mirë-renditur, të quajtur numra natyrorë, në të cilin çdo nënbashkësi jo-boshe përmban një element më të vogël.

Në varësi të kornizës në të cilën futen numrat natyrorë, kjo veti (e rendit të dytë) e bashkësisë së numrave natyrorë është ose një aksiomë ose një teoremë e vërtetueshme. Për shembull:

Në aritmetikën Peano, aritmetikën e rendit të dytë dhe sistemet e lidhura me to, dhe në të vërtetë në shumicën e trajtimeve matematikore (jo domosdoshmërisht formale) të parimit të mirë-rënditjes, parimi rrjedh nga parimi i induksionit matematik, i cili vetë merret si bazë. Duke i konsideruar numrat natyrorë si një nënbashkësi të numrave realë, dhe duke supozuar se ne e dimë tashmë se numrat realë janë të plotë (përsëri, ose si një aksiomë ose një teoremë për sistemin e numrave realë), dmth, çdo bashkësi e kufizuar (nga poshtë) ka një infimum, pastaj gjithashtu çdo bashkësi {A i numrave natyrorë ka një infimum, le të themi a^*. Tani mund të gjejmë një numër të plotë {n^* e tillë që a^*shtrihet në intervalin gjysmë të hapur n^*-1,n^*}, dhe më pas mund të tregojmë se duhet të kemi a^*=n ^* dhe {n^* në A.

Në teorinë aksiomatike të bashkësive, numrat natyrorë përcaktohen si bashkësi më e vogël induktive (d.m.th., bashkësia që përmban 0 dhe mbyllet nën veprimin pasardhës). Ne mund (edhe pa thirrur aksiomën e rregullsisë) të tregojmë se bashkësia e të gjithë numrave natyrorë {n të tillë që "{0,..., n} është e mirë-renditur" është induktiv, prandaj duhet të përmbajë të gjithë numrat natyrorë; Nga kjo veti mund të konkludohet se bashkësia e të gjithë numrave natyrorë është gjithashtu e mirë-renditur .

Në kuptimin e dytë, kjo frazë përdoret kur ai propozim mbështetet me qëllim të justifikimit të provave që marrin formën e mëposhtme: për të vërtetuar se çdo numër natyror i përket një bashkësie të caktuar S, supozojmë të kundërtën, e cila nënkupton që bashkësia e kundërshembujve është jo bosh dhe kështu përmban një kundërshembull më të vogël. Më pas tregoni se për çdo kundërshembull ka një kundërshembull akoma më të vogël, duke prodhuar një kontradiktë. Kjo është metoda e kontra-pozitivitetit me induksion të plotë. Njihet si metoda "kriminale minimale" dhe është e ngjashme në natyrën e saj me metodën e Fermatit të "infinite-descent"("Zbritja e pafund").

Garrett Birkhoff dhe Saunders Mac Lane shkruan në Survey of Modern Algebra se kjo veti, si aksioma më e vogël e kufirit të sipërm për numrat realë, është joalgjebrike; d.m.th., nuk mund të nxirret nga vetitë algjebrike të numrave të plotë (të cilët formojnë një domen integrale të renditur).