Prerjet spirike

Prerjet spirike si prerje planare të një torusi

Në gjeometri, një prerje spirike, e quajtur ndonjëherë spirikja e Perseut, është një kurbë e rrafshët katërore e përcaktuar nga ekuacionet e formës

$(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f.\,$

Një prerje spirike nganjëherë përkufizohet si lakorja e kryqëzimit të një torusi dhe një rrafshi paralel me boshtin e tij të simetrisë rrotulluese. Megjithatë, ky përkufizim nuk përfshin të gjitha lakoret e dhëna nga përkufizimi i mëparshëm, përveç nëse lejohen rrafshet imagjinare .

Prerjet spirike u përshkruan për herë të parë nga gjeometri i lashtë grek Perseu në afërsisht 150 para Krishtit. , dhe supozohet të jenë prerjet e para torike që u përshkruan. Emri spirik është për shkak të simbolit të lashtë spira të një torus.,

Ekuacionet

a = 1, b = 2, c = 0, 0.8, 1

Filloni me ekuacionin e zakonshëm për torusin:

$(x^{2}+y^{2}+z^{2}+b^{2}-a^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+y^{2}).\,$

Këmbimi i y dhe z në mënyrë që boshti i rrotullimit të jetë tani në planin xy, dhe vendosja e z = c për të gjetur kurbën e kryqëzimit jep

$(x^{2}+y^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(x^{2}+c^{2}).\,$

Zgjerimi i ekuacionit jep formën që shihet në përkufizim

$(x^{2}+y^{2})^{2}=dx^{2}+ey^{2}+f\,$

ku

$d=2(a^{2}+b^{2}-c^{2}),\ e=2(a^{2}-b^{2}-c^{2}),\ f=-(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c).\,$

Në koordinata polare kjo bëhet

$(r^{2}-a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}=4b^{2}(r^{2}\cos ^{2}\theta +c^{2})\,$

ose

$r^{4}=r^{2}(d\cos ^{2}\theta +e\sin ^{2}\theta )+f.$

Prerjet spirike në një torus fijor