Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Wishart normal Simboli
(
μ
,
Λ
)
∼
N
W
(
μ
0
,
λ
,
W
,
ν
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )}
Parametrat
μ
0
∈
R
D
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}\in \mathbb {R} ^{D}\,}
parametri i vendndodhjes (vektor real)
λ
>
0
{\displaystyle \lambda >0\,}
(real)
W
∈
R
D
×
D
{\displaystyle \mathbf {W} \in \mathbb {R} ^{D\times D}}
matrica e shkallës (matricë e përcaktuar pozitivisht)
ν
>
D
−
1
{\displaystyle \nu >D-1\,}
(real)Mbështetës
μ
∈
R
D
;
Λ
∈
R
D
×
D
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}\in \mathbb {R} ^{D};{\boldsymbol {\Lambda }}\in \mathbb {R} ^{D\times D}}
Matrica e kovariancës (pozitivisht e përcaktuar)FDGJ
f
(
μ
,
Λ
|
μ
0
,
λ
,
W
,
ν
)
=
N
(
μ
|
μ
0
,
(
λ
Λ
)
−
1
)
W
(
Λ
|
W
,
ν
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )}
Në teorinë e probabilitetit dhe statistikat , shpërndarja normale-Wishart (ose shpërndarja Gausiane-Wishart ) është një familje shumëndryshore me katër parametra të shpërndarjeve të vazhdueshme të probabilitetit . Është parësori i konjuguar i një shpërndarjeje normale shumëvariate me mesatare të panjohur dhe matricë saktësie (inversi i matricës së kovariancës ). [ 1]
Supozojmë se
μ
|
μ
0
,
λ
,
Λ
∼
N
(
μ
0
,
(
λ
Λ
)
−
1
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,{\boldsymbol {\Lambda }}\sim {\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})}
ka një shpërndarje normale multivariate me mesatare
μ
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}
dhe matricës së kovariancës
(
λ
Λ
)
−
1
{\displaystyle (\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}}
, ku
Λ
|
W
,
ν
∼
W
(
Λ
|
W
,
ν
)
{\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu \sim {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )}
ka një shpërndarje Wishart . Pastaj
(
μ
,
Λ
)
{\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})}
ka një shpërndarje normale-Wishart, e cila shënohet si
(
μ
,
Λ
)
∼
N
W
(
μ
0
,
λ
,
W
,
ν
)
.
{\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu ).}
f
(
μ
,
Λ
|
μ
0
,
λ
,
W
,
ν
)
=
N
(
μ
|
μ
0
,
(
λ
Λ
)
−
1
)
W
(
Λ
|
W
,
ν
)
{\displaystyle f({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},\lambda ,\mathbf {W} ,\nu )={\mathcal {N}}({\boldsymbol {\mu }}|{\boldsymbol {\mu }}_{0},(\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1})\ {\mathcal {W}}({\boldsymbol {\Lambda }}|\mathbf {W} ,\nu )}
Nga ndërtimi, shpërndarja margjinale mbi
Λ
{\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}
është një shpërndarje Wishart, dhe shpërndarja e kushtëzuar mbi
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}
dhënë
Λ
{\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}
është një shpërndarje normale me shumëvariate . Shpërndarja margjinale mbi
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}
është një shpërndarje Studenti shumëvariate .
Pas bërjes së
n
{\displaystyle n}
vëzhgimeve
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}_{1},\dots ,{\boldsymbol {x}}_{n}}
, shpërndarja e pasme e parametrave është
(
μ
,
Λ
)
∼
N
W
(
μ
n
,
λ
n
,
W
n
,
ν
n
)
,
{\displaystyle ({\boldsymbol {\mu }},{\boldsymbol {\Lambda }})\sim \mathrm {NW} ({\boldsymbol {\mu }}_{n},\lambda _{n},\mathbf {W} _{n},\nu _{n}),}
ku përkatësisht
λ
n
=
λ
+
n
,
{\displaystyle \lambda _{n}=\lambda +n,}
μ
n
=
λ
μ
0
+
n
x
¯
λ
+
n
,
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{n}={\frac {\lambda {\boldsymbol {\mu }}_{0}+n{\boldsymbol {\bar {x}}}}{\lambda +n}},}
ν
n
=
ν
+
n
,
{\displaystyle \nu _{n}=\nu +n,}
W
n
−
1
=
W
−
1
+
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
(
x
i
−
x
¯
)
T
+
n
λ
n
+
λ
(
x
¯
−
μ
0
)
(
x
¯
−
μ
0
)
T
.
{\displaystyle \mathbf {W} _{n}^{-1}=\mathbf {W} ^{-1}+\sum _{i=1}^{n}({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})({\boldsymbol {x}}_{i}-{\boldsymbol {\bar {x}}})^{T}+{\frac {n\lambda }{n+\lambda }}({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})({\boldsymbol {\bar {x}}}-{\boldsymbol {\mu }}_{0})^{T}.}
[ 2]
Gjenerimi i variateve të rastit është i menjëhershëm:
Kampiono
Λ
{\displaystyle {\boldsymbol {\Lambda }}}
nga një shpërndarje Wishart me parametra
W
{\displaystyle \mathbf {W} }
dhe
ν
{\displaystyle \nu }
Kampiono
μ
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}}
nga një shpërndarje normale shumëvariate me mesatare
μ
0
{\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{0}}
dhe variancë
(
λ
Λ
)
−
1
{\displaystyle (\lambda {\boldsymbol {\Lambda }})^{-1}}
Shpërndarja normale-e anasjelltë Wishart është në thelb e njëjta shpërndarje e parametrizuar nga varianca dhe jo nga saktësia.
Shpërndarja normale-gama është ekuivalenti njëdimensional.
Shpërndarja normale me shumëvariate dhe shpërndarja Wishart janë shpërndarjet përbërëse nga të cilat është bërë kjo shpërndarje.
^ Bishop, Christopher M. (2006). Pattern Recognition and Machine Learning. Springer Science+Business Media. Page 690.
^ Cross Validated, https://stats.stackexchange.com/q/324925