Simboli 3 - jm

Në mekanikën kuantike, simbolet Wigner 3-jm, të quajtura edhe si simbolet 3-j ose 3j janë simbole alternative për koeficientët e Klebesh-Gordan, ato shërbejnë për të shtuar momentin këndor. Të dyja format shprehin problemin e njëjtë fizik, simbolet 3-j bëjnë këtë në mënyrë më simetrike, dhe kështu kanë simetri më të madhe dhe më të thjeshtë se sa koeficientët e Klebesh-Gordan. Formula e cila i lidh me koeficientet e Klebesh-Gordan është:

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\equiv {\frac {(-1)^{j_{1}-j_{2}-m_{3}}}{\sqrt {2j_{3}+1}}}\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}\,{-m_{3}}\rangle .

Relacioni invers

Relacioni invers mund te gjendet duke vene re se j₁ - j₂ - m₃ është një numër i plote dhe duke bere zëvendësimin $m_{3}\rightarrow -m_{3}$

\langle j_{1}m_{1}j_{2}m_{2}|j_{3}m_{3}\rangle =(-1)^{j_{1}-j_{2}+m_{3}}{\sqrt {2j_{3}+1}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}.

Vetitë simetrike

Relacionet inverse të simbolit 3j janë me te përshtatshme se ato të koeficienteve Klebsh-Gordan. Një simbol 3j është invariant nen një permutacion çift te njeries nga kolonave te tija :

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{2}&j_{3}&j_{1}\\m_{2}&m_{3}&m_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}j_{3}&j_{1}&j_{2}\\m_{3}&m_{1}&m_{2}\end{pmatrix}}.

Një permutacion tek i kolonës jep një faktor faze :

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{2}&j_{1}&j_{3}\\m_{2}&m_{1}&m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{3}&j_{2}\\m_{1}&m_{3}&m_{2}\end{pmatrix}}.

Ndryshimi i njërës nga shenjave te numrit kuantik $m$ jep gjithashtu një faze :

{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-m_{1}&-m_{2}&-m_{3}\end{pmatrix}}=(-1)^{j_{1}+j_{2}+j_{3}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}.

Rregullat e zgjedhjes

Simboli Uigner 3j është zero vetëm neqoftese të gjitha konditat e mëposhtme plotësohen :

m_{1}+m_{2}+m_{3}=0\,

j_{1}+j_{2}+j_{3}\,

është një integer

|m_{i}|\leq j_{i}

|j_{1}-j_{2}|\leq j_{3}\leq j_{1}+j_{2}

.

Invarianca skalare

Kontraktimi i prodhimit te tre gjendjeve rrotulluese me një simbol 3j,

\sum _{m_{1}=-j_{1}}^{j_{1}}\sum _{m_{2}=-j_{2}}^{j_{2}}\sum _{m_{3}=-j_{3}}^{j_{3}}|j_{1}m_{1}\rangle |j_{2}m_{2}\rangle |j_{3}m_{3}\rangle {\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}},

është invariant nen rotacione.

Relacionet ortogonale

$(2j+1)\sum _{m_{1}m_{2}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j'\\m_{1}&m_{2}&m'\end{pmatrix}}=\delta _{jj'}\delta _{mm'}.$

$\sum _{jm}(2j+1){\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}&m_{2}&m\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j\\m_{1}'&m_{2}'&m\end{pmatrix}}=\delta _{m_{1}m_{1}'}\delta _{m_{2}m_{2}'}.$

Lidhja me integralet e harmonikave sferike te spinit

$\int d{\mathbf {\hat {n}} }{}_{s_{1}}Y_{j_{1}m_{1}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{2}}Y_{j_{2}m_{2}}({\mathbf {\hat {n}} }){}_{s_{3}}Y_{j_{3}m_{3}}({\mathbf {\hat {n}} })=(-1)^{m_{1}+s_{1}}{\sqrt {\frac {(2j_{1}+1)(2j_{2}+1)(2j_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}j_{1}&j_{2}&j_{3}\\-s_{1}&-s_{2}&-s_{3}\end{pmatrix}}$

Kjo duhet te kontrollohet për konvencionet e ndryshme te harmonikave.

Shikoni gjithashtu

Referime

L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, volume 8 of Encyclopedia of Mathematics, Addison-Wesley, Reading, 1981.
D. M. Brink and G. R. Satchler, Angular Momentum, 3rd edition, Clarendon, Oxford, 1993.
A. R. Edmonds, Angular Momentum in Quantum Mechanics, 2nd edition, Princeton University Press, Princeton, 1960.
Stampa:Dlmf
D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii, Quantum Theory of Angular Momentum, World Scientific Publishing Co., Singapore, 1988.
E. P. Wigner, On the Matrices Which Reduce the Kronecker Products of Representations of Simply Reducible Groups, unpublished (1940). Reprinted in: L. C. Biedenharn and H. van Dam, Quantum Theory of Angular Momentum, Academic Press, New York (1965).

Lidhje të jashtme

Anthony Stone’s Wigner coefficient calculator (Gives exact answer)
Clebsch-Gordan, 3-j and 6-j Coefficient Web Calculator (Numerical)
369j-symbol calculator at the Plasma Laboratory of Weizmann Institute of Science (Numerical)