Teorema e Ceva's

Teorema e Ceva’s

Një nga teoremat më të rëndësishme dhe bazike në gjeometrine Euklidiane është " Teorema e Ceva's", e cila rradhitet në teoremat e konkurencave të drejtëzave, përkatësisht ka të beje me konkurencë ne nje trekëndësh.

Historia

Teorema e Ceva’s është publikuar në vitin 1678 nga Giovani Ceva .

Teorema

• Dy ose më shumë drejtëza që pritën në një pikë të vetme do ti quajmë konkurente.

Le te jenë $X$ ,$Y$ ,$Z$ pika që u takojnë brinjëve $BC$,$AC$ ,$AB$ (respektivisht) të trekëndeshit $ABC$, ashtu që segmentet $AX$, $BY$, $CZ$ të jenë konkurente atehere vlen sa 1e 2:

${\frac {BX}{XC}}\cdot {\frac {CY}{YA}}\cdot {\frac {AZ}{ZB}}=1$

Teorema e Ceva's

Vërtetimi

Le ti shënojm me $ha$, $hb$,$hc$ lartësitë e lëshuara nga kulmet $A$, $B$, $C$ në brinjët $a$, $b$ dhe $c$ respektivisht . Dhe me $Pa$, $Pb$, $Pc$ lartësitë e lëshuara nga pika $P$ në brinjët $a$, $b$, $c$ respektivisht.

Dhe le ta shënojm syprinen e trekëndëshit $ABC$ me $(ABC)$ . Atëherë kemi:

${\frac {BX}{XC}}={\frac {BX}{XC}}\cdot {\frac {ha}{ha}}={\frac {2(ABX)}{2(AXC)}}={\frac {(ABX)}{(AXC)}}$

${\frac {BX}{XC}}={\frac {BX}{XC}}\cdot {\frac {Pa}{Pa}}={\frac {2(BPX)}{2(XPC)}}={\frac {(BPX)}{(XPC)}}$

Nga dy barazimet e fundit kemi:

${\frac {BX}{XC}}={\frac {(ABX)}{(AXC)}}={\frac {(BPX)}{(XPC)}}={\frac {(ABX)-(BPX)}{(AXC)-(XPC)}}={\frac {(ABP)}{(APC)}}.......(1)$

Ngjashëm kemi se:

${\frac {CY}{YA}}={\frac {(BPC)}{(ABP)}}........(2)$

${\frac {AZ}{ZB}}={\frac {(APC)}{(BPC)}}........(3)$

Duke shumëzuar anë për anë shprehjet $(1)$ , $(2)$ dhe $(3)$ kemi:

${\frac {BX}{XC}}\cdot {\frac {CY}{YA}}\cdot {\frac {AZ}{ZB}}={\frac {(ABP)}{(APC)}}\cdot {\frac {(BPC)}{(ABP)}}\cdot {\frac {(APC)}{(BPC)}}=1$

Teorema e Ceva’s ka përdorim të madh ,kjo teorem mund të përdoret për të treguar se lartësitë, medianet apo përgjysmoret e këndeve të trekëndëshit priten në një pike.

Referencat

[Art of problem solving(aops)]

[Geometry Revisited -H. S. M. Coxeter, Samuel L. Greitzer]

--Qëndresa Kodraliu (diskutimet) 8 qershor 2014 23:36 (CEST)