Një nga teoremat më të rëndësishme dhe bazike në gjeometrine Euklidiane është
" Teorema e Ceva's", e cila rradhitet në teoremat e konkurencave të drejtëzave, përkatësisht ka të beje me konkurencë ne nje trekëndësh.
Teorema e Ceva’s është publikuar në vitin 1678 nga Giovani Ceva .
Dy ose më shumë drejtëza që pritën në një pikë të vetme do ti quajmë konkurente. Le te jenë
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
Z
{\displaystyle Z}
B
C
{\displaystyle BC}
A
C
{\displaystyle AC}
A
B
{\displaystyle AB}
A
B
C
{\displaystyle ABC}
A
X
{\displaystyle AX}
B
Y
{\displaystyle BY}
C
Z
{\displaystyle CZ}
B
X
X
C
⋅
C
Y
Y
A
⋅
A
Z
Z
B
=
1
{\displaystyle {\frac {BX}{XC}}\cdot {\frac {CY}{YA}}\cdot {\frac {AZ}{ZB}}=1}
Teorema e Ceva's Le ti shënojm me
h
a
{\displaystyle ha}
h
b
{\displaystyle hb}
h
c
{\displaystyle hc}
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
C
{\displaystyle C}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
P
a
{\displaystyle Pa}
P
b
{\displaystyle Pb}
P
c
{\displaystyle Pc}
P
{\displaystyle P}
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
c
{\displaystyle c}
Dhe le ta shënojm syprinen e trekëndëshit
A
B
C
{\displaystyle ABC}
(
A
B
C
)
{\displaystyle (ABC)}
B
X
X
C
=
B
X
X
C
⋅
h
a
h
a
=
2
(
A
B
X
)
2
(
A
X
C
)
=
(
A
B
X
)
(
A
X
C
)
{\displaystyle {\frac {BX}{XC}}={\frac {BX}{XC}}\cdot {\frac {ha}{ha}}={\frac {2(ABX)}{2(AXC)}}={\frac {(ABX)}{(AXC)}}}
B
X
X
C
=
B
X
X
C
⋅
P
a
P
a
=
2
(
B
P
X
)
2
(
X
P
C
)
=
(
B
P
X
)
(
X
P
C
)
{\displaystyle {\frac {BX}{XC}}={\frac {BX}{XC}}\cdot {\frac {Pa}{Pa}}={\frac {2(BPX)}{2(XPC)}}={\frac {(BPX)}{(XPC)}}}
Nga dy barazimet e fundit kemi:
B
X
X
C
=
(
A
B
X
)
(
A
X
C
)
=
(
B
P
X
)
(
X
P
C
)
=
(
A
B
X
)
−
(
B
P
X
)
(
A
X
C
)
−
(
X
P
C
)
=
(
A
B
P
)
(
A
P
C
)
.
.
.
.
.
.
.
(
1
)
{\displaystyle {\frac {BX}{XC}}={\frac {(ABX)}{(AXC)}}={\frac {(BPX)}{(XPC)}}={\frac {(ABX)-(BPX)}{(AXC)-(XPC)}}={\frac {(ABP)}{(APC)}}.......(1)}
Ngjashëm kemi se:
C
Y
Y
A
=
(
B
P
C
)
(
A
B
P
)
.
.
.
.
.
.
.
.
(
2
)
{\displaystyle {\frac {CY}{YA}}={\frac {(BPC)}{(ABP)}}........(2)}
A
Z
Z
B
=
(
A
P
C
)
(
B
P
C
)
.
.
.
.
.
.
.
.
(
3
)
{\displaystyle {\frac {AZ}{ZB}}={\frac {(APC)}{(BPC)}}........(3)}
(
1
)
{\displaystyle (1)}
(
2
)
{\displaystyle (2)}
(
3
)
{\displaystyle (3)}
B
X
X
C
⋅
C
Y
Y
A
⋅
A
Z
Z
B
=
(
A
B
P
)
(
A
P
C
)
⋅
(
B
P
C
)
(
A
B
P
)
⋅
(
A
P
C
)
(
B
P
C
)
=
1
{\displaystyle {\frac {BX}{XC}}\cdot {\frac {CY}{YA}}\cdot {\frac {AZ}{ZB}}={\frac {(ABP)}{(APC)}}\cdot {\frac {(BPC)}{(ABP)}}\cdot {\frac {(APC)}{(BPC)}}=1}
Teorema e Ceva’s ka përdorim të madh ,kjo teorem mund të përdoret për të treguar se lartësitë, medianet apo përgjysmoret e këndeve të trekëndëshit priten në një pike.
[Art of problem solving(aops)]
Qëndresa Kodraliu (diskutimet ) 8 qershor 2014 23:36 (CEST)
