Teorema e kosinusit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko
Triangle with notations 2.svg

Teorema e kosinusit përdoret për zgjidhjen e trekëndëshit të ç'farëdoshëm. Ajo është përgjithësim i teoremës së famshme të Pitagorës e cila vlen për trekëndëshin këndrejt. Teorema e kosinusit njihet edhe me emrin "Teorema e Al-Kashit" dhe me fjalë ajo mund të formulohet si vijon:

Te çdo trekëndësh katrori i çdo brinje është i barabartë me shumën e katrorëve të dy brinjëve tjera i zvogëluar për dyfishin e prodhimit të tyre me kosinusin e këndit përballë asaj brinje.

Teorema e kosinusit është përgithësim i teoremës së Pitagorës e cila vlen nëse trekëndëshi ka një kënd të drejtë nëse supozojmë se p.sh. këndi γ është i drejtë 90°= π/2 radian atëherë cos(γ) = 0, prandaj

Ky barazim paraqet teoremën e Pithgorës.

Zbatimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Triangle-with-an-unknown-angle-or-side.svg

Teorema e kosinusit përdoret për zgjidhjen e trekëndëshit

  • Në rast se janë dhënë tre brinjët e tij për gjetjen e këndeve
  • Në rast se janë dhënë dy brinjë dhe këndi në mes tyre për gjetjen e brinjës së tretë dhe këndeve tjera
  • Në rast se janë dhënë dy brinjë dhe këndi përballë njërës prej tyre për gjetjen e brinjës së tretë dhe këndeve tjera

Vërtetimi i teoremës[redakto | redakto tekstin burimor]

Triangle-with-cosines.svg

Lëshojmë lartësinë mbi brinjën c atëherë nga figura kemi

Nëse të njejtën gjë e përsërisim për lartësitë tjera atëherë kemi

Barazimin e parë e shumëzojmë me c të dytin me b dhe të tretin me a atëherë fitojmë

I mbledhim dy barazimet e fundit atëherë kemi

.

Prej këtij barazimi e zbresim të parin atëherë fitojmë

nga barazimi i fundit pas thjeshtimeve të mundshme fitojmë se