Analiza matematikore

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Analiza matematike e ka bazen tek formulimi rigoroz i llogaritjes infinitezimale. Analiza është dega e matematikës që merret shprehimisht me nocione të tilla si limiti, qoftë limiti i një vargu numerik apo i një funksioni. Ajo përfshin gjithashtu nocione të tjera si vazhdueshmëria, derivimi dhe integrali. Këto nocione janë të studiuara në kontekstin e numrave rreal ose kompleks. Megjithatë , këto nocione mund të jenë te përcaktuara dhe të studiuara në një kontekst më të përgjithshëm në hapësirat topologjike.

Motivimet[redakto | redakto tekstin burimor]

Motivimi për studimin e analizes matematike në kontekstin më të gjërë te hapësirave topologjike dhe metrike është i dyanshëm:

  • Së pari, vetë teknikat bazike kanë provuar se janë të aplikueshme nje klase të gjërë problemesh.
  • Së dyti, studimi në hapësirat më abstrakte ka dhënë prova të zbatueshmërisë në probleme klasike të fizikës. Për shembull, në analizën e Fouriesë, funksionet janë të shprehura si shuma të pafundme të disa funksioneve trigonometrike ose eksponenciale komplekse. Në fakt në analizën e Fouriesë është e mundur të shpërbashkosh funksione që në fillim duken shumë

Titulli[redakto | redakto tekstin burimor]

ë nderlikuara nepërmjet funksioneve sinus dhe cosinus.

histori[redakto | redakto tekstin burimor]

Respaktivisht ne lashtësi dhe ne mesjetë, matematicienët grek dhe indianë janë interesuar infinitezimales duke arritur rezultate premtues por shumë të fragmentuara. Për arsye historike, pasardhesit e tyre të menjëhershëm nuk avancuan më shumë me keto baza.

Analiza moderne është themeluar në shekullin e XVII nga Leibnitz dhe Newton. Në shekullin e XVII, temat e analizës si llogaritjet infinitezimale, ekuacionet diferenciale, ekuacionet me derivate të pjesshme, analiza e Fouriesë dhe fonksionet e krijuara prej tyre, u zhvilluan fillimisht në kuadrin e aplikimeve praktike në fizikë. Këto teknike ishin të suksesshme në përdorimin e tyre praktikë.

Gjatë gjithë shekullit të XVII,perkufizimi i funksionit ishte shumë i debatuar mes matematicienëve të kohes. Në shekullin e XIX, Cauchy ishte i pari që dha themelet logjike strikte të llogaritjes infinitezimale duke futur konceptin e vargut të Cauchy. Ai hodhi bazat edhe të teorisë formale të analizës komplekse. Poisson, Liouville, Fourier dhe të tjerë studiuan ekuacionet me derivate të pjesshme dhe problemet e analizës harmonike.

Në mes të shekullit të XIX, Riemann paraqet teorine e tij të integrimit : integralin e Riemann. Gjatë pjesës së tretë të shekullit të XIX, Karl Weierstrass jep përkufizimin « ε-δ » të limitit dhe aritmetizon për herë të parë konceptet e analizës që deri atëherë ishin të studiuara në kuadrin e gjeometrisë. Për herë të parë u zgjidh problemi i vazhdueshmërisë të numrave rreal deri atëherë i pranuar pa vertëtim . Richard Dedekind ndërtoj në mënyrë formale për herë të parë numrat rreal.

Filluan të ndërtoheshin funksione nga më të çuditshmet(si për shembull funksione të vazhdueshme por të paderivueshme ) . Në këtë kontekst, Marie Ennemond Camille Jordan zhvilloj teorinë e tij të matjes. Georg Cantor zhvilloj teorinë naive të bashkësive. Në fillim të shekullit të XX llogaritja infinitezimale formalizohet me ndërmjetësinë e teorisë së bashkësive. Henri Lebesgue zgjidh problemet e matjes dhe David Hilbert krijon hapësirat e Hilbert për të zgjidhur ekuacionet integrale. Në vitet 1920 Stefan Banach krijon analizen funksionale dhe u avancua shumë në ndërtimin e një teorie në hapësirat vektoriale te normuara.

Ndarjet[redakto | redakto tekstin burimor]

Analiza matematike përfshin këto nëndegë.

  • Analiza rreale, studimi riguroz mbi derivimin dhe integrimin e funksioneve me ndryshore rreale. Përfshin gjithashtu studimin e vargjeve, serive, limitet e tyre dhe matjet.
  • Analiza funksionale studion hapësirat e funksioneve dhe shfaq koncepte si hapësirat e Banach dhe hapësirat e Hilbert.
  • Analiza harmonike merret me serit e Fouriesë dhe përdorimin e tyre.
  • Analiza komplekse, studimin e funksioneve me ndryshore komplexe dhe që marrin vlera komplekse.
  • Topologji e përgjithshme, studimi i transformimeve topologjike të një figure gjeometrike çfarëdo.
  • Gjeometria diferenciale, aplikimi i llogaritjeve tek hapësirat matematike abstrakte që zoterojnë një strukturë të brëndshme të ndërlikuar.
  • Analiza numerike, studimi i algoritmeve për përafrimin e problemeve matematikes së vazhdueshme.

Shiko dhe këtë[redakto | redakto tekstin burimor]


Lidhje të jashtme[redakto | redakto tekstin burimor]