Në matematikë, ëndrra e vitdytistit është çifti i identiteteve (sidomos i pari)
∫
0
1
x
−
x
d
x
=
∑
n
=
1
∞
n
−
n
∫
0
1
x
x
d
x
=
∑
n
=
1
∞
(
−
1
)
n
+
1
n
−
n
=
−
∑
n
=
1
∞
(
−
n
)
−
n
{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&\int _{0}^{1}x^{-x}\,dx&&=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-n}\\&\int _{0}^{1}x^{x}\,dx&&=\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}n^{-n}=-\sum _{n=1}^{\infty }(-n)^{-n}\end{alignedat}}}
Johann Bernoulli .
Vlerat numerike të këtyre konstantave janë afërsisht 1.291285997... dhe 0.7834305107... , respektivisht.
Emri "ëndrra e studentit të dytë" [ 1] ëndrra e vitparistit " që i është dhënë identitetit të pasaktë
(
x
+
y
)
n
=
x
n
+
y
n
{\textstyle (x+y)^{n}=x^{n}+y^{n}}
studentit të vitit të dytë ka një ndjenjë të ngjashme shumë-e mirë-për-të-qenë-e vërtetë, por është e vërtetë.
Grafiku i funksioneve y = x x y = x −x (gri, sipër) në intervalin x ∈ (0, 1 ] . Provat e dy identiteteve janë krejtësisht analoge, kështu që këtu është paraqitur vetëm prova e të dytit. Përbërësit kryesorë të provës janë:
për të shkruar
x
x
=
exp
(
x
ln
x
)
{\textstyle x^{x}=\exp(x\ln x)}
logaritmin natyror dhe exp për funksionin eksponencial );
të zgjerohet
exp
(
x
ln
x
)
{\textstyle \exp(x\ln x)}
serinë e fuqive për exp ; dhe
për të integruar term-për-term, duke përdorur integrimin me zëvendësim . Në detaje, x x
x
x
=
exp
(
x
log
x
)
=
∑
n
=
0
∞
x
n
(
log
x
)
n
n
!
.
{\displaystyle x^{x}=\exp(x\log x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}.}
Prandaj,
∫
0
1
x
x
d
x
=
∫
0
1
∑
n
=
0
∞
x
n
(
log
x
)
n
n
!
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\int _{0}^{1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.}
Nga konvergjenca e njëtrajtshme e serisë së fuqisë, mund të shkëmbehet shuma dhe integrimi për të dhënë
∫
0
1
x
x
d
x
=
∑
n
=
0
∞
∫
0
1
x
n
(
log
x
)
n
n
!
d
x
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{x}\,dx=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx.}
Për të vlerësuar integralet e mësipërme, mund të ndryshohet ndryshorja në integral nëpërmjet zëvendësimit
x
=
exp
(
−
u
n
+
1
)
.
{\textstyle x=\exp(-{\frac {u}{n+1}}).}
0
<
u
<
∞
,
{\displaystyle 0<u<\infty ,}
∫
0
1
x
n
(
log
x
)
n
d
x
=
(
−
1
)
n
(
n
+
1
)
−
(
n
+
1
)
∫
0
∞
u
n
e
−
u
d
u
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}x^{n}(\log x)^{n}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}\int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du.}
funksionin Gamma , një ka
∫
0
∞
u
n
e
−
u
d
u
=
n
!
,
{\displaystyle \int _{0}^{\infty }u^{n}e^{-u}\,du=n!,}
∫
0
1
x
n
(
log
x
)
n
n
!
d
x
=
(
−
1
)
n
(
n
+
1
)
−
(
n
+
1
)
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\frac {x^{n}(\log x)^{n}}{n!}}\,dx=(-1)^{n}(n+1)^{-(n+1)}.}
^ It appears in Borwein, Bailey & Girgensohn 2004 .
