Antiderivatet

Njeri nder lemenjt me te rendesishem te analizes matematike, i cili gjen zbatime te ndryshme ne zgjidhjen e problemeve qe para nesh shtrojne shkenca dhe teknika, pa dyshim eshte njehsimi integral. Integrali i pacaktuar eshte nje veprim i anasjellte me veprimin e derivimit dhe te diferencimit te funksionit nderkaq, integrali i caktuar eshte nje mjet i rendesishem per njehsimin e syprinave te siperfaqeve vijeperkulta dhe vellimeve te trupave.

Hyrje

Integrimi eshte thjesht proces i gjetjes se te gjitha funksioneve primitive te nje funksioni f. Andaj vlen ky perkufizim:

Integral i pacaktuar i funksionit f quhet bashkesia e te gjitha funksioneve primitive te funksionit f dhe shenohet me:

$\int f(x)\,\mathrm {d} x.$.

Ne kete rast shenja $\int$ njihet si shenja e integralit, f quhet funksioni nen integral, kurse f(x)dx quhet shprehja nen integral.

Integrali i Pacaktuar

Integralet thame jane te rendesishme sepse me to mund te llogaritim syprina te siperfaqeve dhe vellime. Andaj ne kete rast theksohet integrali i caktuar i cili njihet si Teorema Fundamentale e Analizes dhe matematikisht shprehet si:

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=F(b)-F(a).$

Ne kete rast a dhe b jane kufinjte e integrimit.

Funksionet e integrueshme

Nder pyetjet me te rendesishme ne lidhje me integralet eshte se cilat funksione jane te integrueshme e cilat jo. Ne kete pyetje mund te pergjigjemi vetem nese bazohemi ne teorema te nxjerra ne lidhje me integralet. Jane shume funksione integralet e te cilave egzistojne por nuk mund te shprehen ne formen e tyre te fundme. DIsa shembuj te tyre jane:

$\int e^{-x^{2}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int \sin(x^{2})\,\mathrm {d} x,\qquad \int {\frac {\sin(x)}{x}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int {\frac {1}{\ln x}}\,\mathrm {d} x,\qquad \int x^{x}\,\mathrm {d} x.$

Jane te njohura dy metoda te integrimit: Metoda e zevendesimit dhe Metoda integrimit te parcial.

Metoda e Zevendesimit

Le te jete f funksion i integrueshem ne intervalin (a,b) dhe $\phi$:(a,b) funksion qe ka derivat te vazhdueshem ne (a,b). Atehere vlen:

$\int _{\phi (a)}^{\phi (b)}f(x)\,dx=\int _{a}^{b}f(\phi (t))\phi '(t)\,dt.$

Integrimi Parcial

Le te jene u dhe v dy funksione te ndryshores x te derivueshme. Pra u=u(x) dhe v=v(x). Andaj kemi:

$\int u(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx$

Apo ne menyre me kompakte kemi:

$\int u\,dv=uv-\int v\,du.\!$

Integrale te drejtperdrejta

Disa prej integraleve te drejperdrejta jane:

$\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$

$\int k\,dx=kx+C$

$\int x^{a}\,dx={\frac {x^{a+1}}{a+1}}+C\qquad {\text{(for }}a\neq -1{\text{)}}\,\!$

$\int (ax+b)^{n}\,dx={\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}}+C\qquad {\text{(for }}n\neq -1{\text{)}}\,\!$

$\int {1 \over x}\,dx=\ln \left|x\right|+C$

$\int {1 \over x}\,dx={\begin{cases}\ln \left|x\right|+C^{-}&x<0\\\ln \left|x\right|+C^{+}&x>0\end{cases}}$

$\int {\frac {c}{ax+b}}\,dx={\frac {c}{a}}\ln \left|ax+b\right|+C$

Funksione Eksponenciale

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$ $\int f'(x)e^{f(x)}\,dx=e^{f(x)}+C$ $\int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C$

Funksione Trigonometrike

$\int \sin {x}\,dx=-\cos {x}+C$

$\int \cos {x}\,dx=\sin {x}+C$

$\int \tan {x}\,dx=-\ln {\left|\cos {x}\right|}+C=\ln {\left|\sec {x}\right|}+C$

$\int \cot {x}\,dx=\ln {\left|\sin {x}\right|}+C$

$\int \sec {x}\,dx=\ln {\left|\sec {x}+\tan {x}\right|}+C$

Referime

• Matematika 2 - Hajdar Peci(Fakulteti i Inxhinierise Elektrike dhe Kompjuterike)
• Matematika 3(Ejup Hamiti dhe Shqipe Lohaj) - Permbledhje Detyrash(Fakulteti i Inxhinieris Elektrike dhe Kompjuterike)
• Matematika 12 - Analize me teori te gjases.