Ekuacionet kuadratike

Ekuacioni kuadratik ose barazimi i shkallës së dytë në trajtën e përgjithshme shënohet me

$ax^{2}+bx+c=0,\,\!$

x ku a ≠ 0. Sepse nëse a = 0, atëherë ai është ekuacion linear.

Numrat real a, b, dhe c quhen koeficientë, ndërsa x është e panjohura e formules.

Zgjidhjet

Ç'do vlerë e të panjohurës x e cila ekuacionin kuadratik e shndërron në gjykim të saktë quhet zgjidhje e ekuacionit. Në përgjithësi ekuacioni kuadratik ka dy zgjidhje të cilat quhen edhe rrënjë, në bashkësinë e numrave kompleks të cilat lehtë gjenden sipas të ashtuquajturës formula kuadratike :

${\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$ ,

ku simboli "±" tregon se

${\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

dhe

${\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

X1= dhe X2=

janë zgjidhjet.

Dallori dhe formula e tij

Shprehja që ndodhet nën shenjën e rrënjës katrore nga formula e mësipërme

$D=b^{2}-4ac,\,\!$

quhet dallori i ekuacionit kuadratik. Nga dallori varet edhe natyra e zgjidhjeve të ekuacionit kuadratik kemi tre raste për shqyrtim :

• Nëse $D>0$ atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të ndryshme reale.

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b+{\sqrt {D}}}{2a}}\\x_{2}&={\frac {-b-{\sqrt {D}}}{2a}}\\\end{aligned}}$

• Nëse $D=0$ atëherë ekuacioni ka një zgjidhje reale të dyfishtë :

$x=-{\frac {b}{2a}}.\,\!$

• Nëse $D<0$ atëherë ekuacioni ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :

${\begin{aligned}x_{1}&={\frac {-b}{2a}}+i{\frac {\sqrt {|D|}}{2a}}\end{aligned}}$ ku, ${\begin{aligned}|D|\end{aligned}}$ është vlera absolute e diskriminantës dhe $i$ është ${\begin{aligned}{\sqrt {-1}}\end{aligned}}$

${\begin{aligned}x_{2}&={\frac {-b}{2a}}-i{\frac {\sqrt {|D|}}{2a}}\end{aligned}}$

Shembuj të ndryshëm

Ekuacioni $7x+15-2x^{2}=\ 0$ e ka diskriminantën pozitive $D\ =169$ prandaj ai ka dy zgjidhje reale të ndryshme :

$x_{1}={\frac {-7-{\sqrt {169}}}{2\cdot (-2)}}=5$ dhe $x_{2}={\frac {-7+{\sqrt {169}}}{2\cdot (-2)}}=-{\frac {3}{2}}.$

Ek$x_{2}={\frac {-3+{\sqrt {3}}i}{2}}.$uacioni $x^{2}-2x+1=\ 0$ ka si diskriminantë $D\ =0$ prandaj ai ka një zgjidhje reale të dyfishtë :

$x=-{\frac {-2}{2}}=1$

Ekuacioni $x^{2}+3x+3=\ 0$ nuk ka zgjidhje reale sepse $D\ =-3<0$ diskriminanta e tij është negative pra ky ekuacion ka dy zgjidhje të cilat janë numra kompleks të konjuguar :

$x_{1}={\frac {-3-{\sqrt {3}}i}{2}}$ dhe :