Bra-ket

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Notacioni Bra-Ket, është një formalizmi (sistem simbolesh) i shpikur nga Pol Dirak (Paul Dirac) për të thjeshtuar prezantimin e llogaritjeve në Mekanikën Kuantike në një mënyre sa më kompakte. Aparati matematik për përshkrimin e fenomeneve fizikë në degën e mekanikës kuantike përfshin kryesisht Algjebrën Lineare dhe Teorinë e Probabilitetit. Një "Ket" përcaktohet si një vektor në një hapësire Hilbertiane.

Bra dhe Ket[redakto | redakto tekstin burimor]

Përdorimi më i zakonshëm : Mekanika kuantike[redakto | redakto tekstin burimor]

mekanikën kuantike, gjendja e një sistemi fizik jepet nga rreze njësi në një hapësirë Hilbertiane të ndashme komplekse, \mathcal{H}, ose, në mënyre ekuivalente, nga një pikë në hapësirën projektive të sistemit. Çdo vektor në këtë rreze quhet një "ket" dhe shkruhet si |\psi\rangle, e cila lexohet si "ket psaj". (ψ mund të zëvendësohet me simbole, shkronja numra ose edhe fjale sipas rastit për ket.)

Ket mund të shikohet si një vektor kolonë dhe (në rast së kemi një bazë në hapësirën Hilbertiane) mund të shkruhet në komponentë,

|\psi\rangle = (c_0, c_1, c_2, ...)^T,

ku hapësira Hilbertiane në fjalë është e fundme. Në një hapësirë dimensionale të pafundme ka një numër të pafundem komponentësh dhe ket mund të shkruhet në një notacion kompleks duke i ngjitur një bra (shiko më poshtë). Për shembull,

\langle x|\psi\rangle = \psi(x)\ = c e^{- ikx}.

Çdo ket |\psi\rangle ka një bra duale, t shkruajtur si \langle\psi|. Për shembull, një bra që i korrespondon ketit |\psi\rangle të më lartem do të jetë një vektor rreshti.

\langle\psi| = (c_0^*, c_1^*, c_2^*,...).

Kjo është një funksional linear i vazhdueshëm nga H numrat komplekse \mathbb{C}, i përcaktuar nga :

\langle\psi| : H \to \mathbb{C}: \langle \psi | \left( |\rho\rangle \right) = \operatorname{IP}\left( |\psi\rangle \;,\; |\rho\rangle \right) për të gjitha kets |\rho\rangle

ku \operatorname{IP}(\cdot, \cdot) jep produktin e brendshem të përcaktuar në hapësirën Hilbertiane. Në këtë rast avantazhi i notacionit bra-ket bëhet i qartë : kur lëshojmë parantezat (siç është e zakonshme me funksionet lineare) dhe bashkojmë se bashku vizat vertikale në marrim \langle\psi|\rho\rangle, e cila është një notacion i zakonshëm për produktin e brendshëm në hapësirën Hilbertiane. Ky kombinim i bra me ket formon një numër kompleks të quajtur bra-ket ose braket.

Përdorime më të përgjithshme[redakto | redakto tekstin burimor]

Operatore lineare[redakto | redakto tekstin burimor]

Vetitë[redakto | redakto tekstin burimor]

Notacioni bra-ket u dizenjua për lehtësimin e manipulimeve formale të shprehjeve linearo-algjebrike. Disa nga vetitë që lejojnë këto manipulime jepen me poshtë. Në seksionet e mëposhtme, c1 dhe c2 tregojnë numra komplekse arbitrare, c* qëndron për të konjuguarin komplex conjugate të c, A dhe B tregojnë operatore lineare arbitrare, dhe duhet theksuar se këto veti qëndrojnë për çfarëdo zgjedhje të bra dhe ket.

Anti-komutacioni[redakto | redakto tekstin burimor]

Vektori Bra është antikomutativi i Ket.

Një vektor Ket në hapësirën Hilbertiane mund të jetë

  • një kolonë me elemente diskrete a1, a2, a3...
  • një kolonë me një numër të pafundme elementesh

Në rastin e fundit normalizimi i Ket bëhet duke marrë parasysh konvergjencën e series në hapësirën vektoriale përkatëse.

Lineariteti[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Meqenëse bra janë funksionale lineare,
\langle\phi| \; \bigg( c_1|\psi_1\rangle + c_2|\psi_2\rangle \bigg) = c_1\langle\phi|\psi_1\rangle + c_2\langle\phi|\psi_2\rangle.
  • Nga përcaktimi i mbledhjes dhe shumëzimit skalar të funksionaleve lineare në hapësirën duale,
\bigg(c_1 \langle\phi_1| + c_2 \langle\phi_2|\bigg) \; |\psi\rangle = c_1 \langle\phi_1|\psi\rangle + c_2\langle\phi_2|\psi\rangle.

Asociativiteti[redakto | redakto tekstin burimor]

Po te kemi një shprehje që përfshin numra komplekse, bra, ket, prodhime të brendshme, prodhime të jashtme, dhe/ose operatore lineare (me përjashtim të mbledhjes), te shkruara në notacionin bra-ket, grupimet në paranteza nuk kane rendësi (i.e., pra vetia e asociativitetit qëndron). Për shembull :

 \lang \psi| (A |\phi\rang) = (\lang \psi|A)|\phi\rang
 (A|\psi\rang)\lang \phi| = A(|\psi\rang \lang \phi|)

e kështu më rradhe. Shprehjet mund te shkruhen, ne mënyre koncize, pa paranteza. Vini re se vetia e asociativitetit nuk qëndron për shprehje qe përfshinë operatore jo-lineare, si operatori i rikthimit kohor antilinear në fizike.

Konjugimi Hermitian[redakto | redakto tekstin burimor]

Bra dhe ket të përbëra[redakto | redakto tekstin burimor]

Reprezentimi nëpërmjet bra dhe ket[redakto | redakto tekstin burimor]

Operatori njësi[redakto | redakto tekstin burimor]

Notacioni që përdoret nga matematikanët[redakto | redakto tekstin burimor]

Lexime të mëtejshme[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Feynman, Leighton and Sands (1965). The Feynman Lectures on Physics Vol. III. Addison-Wesley. ISBN 0-201-02115-3. 


Lidhje të jashtme[redakto | redakto tekstin burimor]