Diofanti

Në matematikën e antikitetit grek një vend të veçantë zë vepra e Diofantit, që siç mendohet, duhet të ketë jetuar nga fundi i shekullit të dytë dhe fillimi i shekullit të tretë të erës sonë. Interesat e tij shkencore dalin jashte shtratit të traditës greke që kishte parapëlqim të posaçshëm për gjeometrinë. Diofanti është marrë me aritmetikën dhe me problem që mund të quhen algjebrike, ndonëse atëherë ende nuk ishte formar algjebra si degëzim i mirëfilltë i matematikës. Ai ka shkruar një punim të shkurtër për numrat poligonalë, një vepër për “Porizmat” (ky term përdorej për të treguar një kompleks pohimesh që kërkonin ose vërtetime ose ndërtime shumë të vështira) e cila ka humbur, por atë e bëri të famshëm “Aritmetika” në 13 libra, nga të cilët janë ruajtur gjashtë e një fragment i të shtatit. Nga shekulli i parë i erës sonë pati një ringjallje të interestit për trashegimine pitagoriane, por me qëllim që mbi të të ngrinin spekulime aritmëtike të ngarkuara me kuptime mistike, që ishin larg frymës se kërkimit matematik. Këtij ndikimi të keq nuk i pati shpëtuar as vepra “Hyrje në aritmetikë” e një autori serioz si Nikomahu nga Herasi, (qe ka jetuar në kapërcyellin e shekujve të pare e të dytë), në të cilën përmblidheshin në trajtë sistematike tërë vetitë e numrave të zbuluara nga pitagorianët (Filolau, Arhiti, etj). Diofanti veçohet krejt prej kësaj rrjedhe. Ai u jep kërkimeve të veta drejtim tjetër duke i mbetur besnik rrugës që kishte çelur mendimi më i mirë matematik grek. Metoda e ndjekur prej tij është saktësisht shkencore: çështjet e shqyrtuara përvijohen qartë, zgjidhjet e gjetura diskutohen me rigorozitet. Diofanti i ka kushtuar vëmendje të posaçme ekuacioneve të pacaktuara (që sot quhen diofantiane) të cilave u kërkon zgjidhjet racionale positive. Zgjidhjet iracionale ai i quante “të pamundura” dhe bënte kujdes që t’i zgjidhte koeficientët në mënyr të tillë që ekuacionet ose sistemet e tyre të kishin rrënjë racionale pozitive. Diofanti ka gjetur zgjidhje racionale të rreth 130 ekuacioneve të pacaktuara, që u përkasin më shum se 50 klasave të ndryshme. Ndër to ndeshet edhe ekuacioni si x^2-26y^2=1 dhe x^2-30y^2=1, që njihet tani me emrin “Ekuacione të Pelit”. Diofanti vetë nuk ka bërë ndonjë përpjekje për klasifikim e nuk jep metoda të përgjithshme për zgjidhjet. Por ndihet mënjëherë se ai zotërin një mjeshtëri të habitshme e teknikë mjaft të përpunuar, për të përballuar probleme jo pak të vështira për kohën. Për këtë e ka ndihmuar sajimi i një simbolike të përshtatshme. Diofanti është i pari që përdor sistematikisht simbolet algjebrike. Simbolika e tij bazohet kryesisht në shkurtimin e fjalëve. Ai përdorte shenja të posaçme për të panjohurën dhe për fuqi të saj, për minusin, për madhësinë inverse. Vepra e Diofantit të nxit të bësh disa pyetje të natyrshme. Problematika e saj mjaft origjinale e trajtuar me nivel të lartë e dallon tepër dukshëm prej pjesës tjetër të trashëgimisë se njohur greke. Ndërsa veprat e tjera madhore duken si kulme të natyrshme të një veprimtarie të gjatë lëvrimi sistematik të gjeometrisë, krijimtaria e Diofantit duket si një kulm “I papritur”, i shfaqur disi befas. Gjykimi i shëndoshë të shtyn të mendosh se ai vështirë të krijohej jashtë ekzistencës së një praktike të caktuar aritmetiko-algjebrike. Shumë studime pranojnë se nën shtresën e qytetërimit grek, vazhdonte të ruhej në vatrat e vjetra tradita e lashtë e Babilonisë. Madje ndonjë prej tyre e konsideron Diofantin si babilonas të helenizuar. Kjo mund të mos jetë e vërtetë, por është fakt që Diofanti në veprën e vet nuk e ndjen nevojën të nënvizojë origjinalitetin e madh të shtjellimit, sikur të kishte të bënte me forma të njohura nga lexuesit e vet. E kjo është një dëshmi në favor të hipotezës së parashtruar më sipër. Le të përmendim kalimthin edhe diçka tjetër. Ka qënë i përhapur mendimi se zhvillimin e algjebrës greke e ka frenuar në një farë mënyre sistemi alfabetik i numërimit meqenëse përdorimi i germave për numrat e përcaktuar pengonte që ato të përdoreshin për të shënuar numrat në përgjithësi, siç bëhet në algjebër. Ky është një shpjegim formalisht, sepse sikur autorët klasikë grekë të ishin interesuar vërtet për algjebrën, do ta kishin krijuar edhe simbolikën e përshtatshme, ashtu siç bëri Diofanti. Një pyetje tjetër që kërkon përgjigje është kjo: A mund të flitet për rënje e zvetënim të matematikës greke kur në kuadrin e saj krijohet një veper si kjo e Diofantit? Shkenca, pra edhe matematika, në çdo fragment kohor të zhvillimit të saj nuk ka një rjedhë drejtvizore pa kurrfar zikzakesh. Gjenialiteti i Diofanit është një arsye që mund të merej në konsiderat për të shpjeguar pse vepra e tij shpërtheu mbi mediokritetin matematik mbizotërues. Por ky shpërthim krijues nuk e cënon karakterizim e përgjithshëm të epokës. Ai u ndriçua si një dritë e mbrame mbi hapsirat e një mendimi matematik të shterpëzuar që as mund t’ia çmonte vlerën as kishte forc t’ia bënte të vetat e tija zhvillonte mëtej idet e risit e veprës së diofantit dhe çfar potencialiteti kishte kjo e fundit e tregoi përparimi i matematikës nga Rilindja e këtej. Duke filluar nga shekulli i 17-të e deri ne kohën tonë, shumë matematikan ndër më të shquarit (Fermai, Euleri, Lagranzhi, Gausi, Gelfonti, etj.) janë marë me çështje që e kanë te Diofanti dhe kanë krijuar teori me vlerë. Pas Diofantit nuk dolën matematikan të tjerë të krahasueshëm me të nga potenca krijuese. Por një zjarr aq i madh si ai i kulturës matematike helene nuk mund të shuhej me një herë pa ndonjë flakërim të fundëm. Të tillë e konsiderojnë, pa asnjë mëdyshje, veprën e Papit të Aleksandrisë (shekulli i 3-të i erës sonë) Papi ishte përfaqësuesi më i shkëlqyer i një pleiade eruditësh që duke studiuar kryeveprat e të kaluarës e duke medituar për to u përpoqën të paraqitin të sistemuara e të komentuara në shkrimet e tyre rrezulltatet e gjetura nga paraardhësit. Edhe Papi komentoi ”Elementet” e Euklidit e “Mathematik Sintaksis” të Ptolemeut, por vepra më e rëndësishme e tij është “Përmbledhja Matematike” (Sinagoge) në 8 libra prej të cilave kanë humbur i pari e pjesërisht i dyti. Ajo mund te përqaset me një tekst mësimor gjeometrie që jep një material shumë të pasur e mjaft të azhurnuar për kohën në të cilën u hartua. Shume teorema aty parashtrohen të përmirësuara në krahasim me origjinalet e me vërtetime më të goditura, madje një pjesë e mirë e rezultateve të autorëve të lashtë njihen sot në atë trajtë që i pati dhënë Papi. Në “Përmbledhjen” e Papit gjejmë diçka që nuk ndeshet në veprat e tjera me karakter enciklopedik: Përpjekjen e suksesshme për të shtruar e për të zgjidhur problem të reja, pra për ta shtyrë më tej kërkimin gjeometrik. Ndër këto duhet të përmendim kreun për figurat izoperimetrike, ku gjenden pohimet që rrethi ka syprinë më të madhe se çdo shumëkëndësh i regullt me perimetër të njejt me perimetrin e tij, disa hulumtime të çështjeve që sot i takojn gjeometris projektive, studimin për syprinat e vëllimet ku jepen të vërtetuara dy teorema, që tani i quajne “Teorema të Guldinit” etj. Komentues të tjerë të shquar pas Papit kanë qenë Teoni nga Aleksandria (shek. I 4-tërt), vajza e tij Hypatija si edhe Prokli (shek. 5-të), e Eutoki (shek.6-të), të shkollës së athinës e cila e vazhdoi të egzistoj edhe ca kohë, pas shkatërimit të qendrës shkencore në Aleksandri. Veprat që lanë ata ishin regëtima të fundit të matematikës greke të lashtësis dhe pas tyre cikli madhështor disa shekullor i saj shkoi faltalisht me shpejtësi drejt mbylljes. Por ai mbeti perjëtësisht një prej faqeve më të ndritura të historis së matematikës.