Jump to content

Dukuria e Runge

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Funksioni Runge (me të kuqe, maja më e lartë qendrore); polinomi interpolues i rendit të 5-të me pika interpoluese të barabarta (blu, maja qendrore më e ulët); dhe polinomi interpolues i rendit të 9-të me pika interpoluese të barabarta (e gjelbër, maja qendrore mesatare). Lëkundjet në kufijtë e intervalit rriten me rritjen e rendit polinomial.

Në fushën e analizës numerike, dukuria e Runge ( German: [ˈʁʊŋə] ) është një problem i lëkundjes në skajet e një intervali që ndodh kur përdoret interpolimi polinomial me polinome të shkallëve të larta mbi një grup pikash interpolimi të baraslarguara. Ajo u zbulua nga Carl David Tolmé Runge (1901) kur hetoi sjelljen e gabimeve kur përdorej interpolim polinomial për të përafruar funksione të caktuara. [1] Zbulimi ishte i rëndësishëm sepse tregon se shkuarja në shkallë më të larta nuk përmirëson gjithmonë saktësinë. Fenomeni është i ngjashëm me fenomenin Gibbs në përafrimet e serive Fourier.

Paraqitja[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Teorema e përafrimit të Weierstrassit thotë se për çdo funksion të vazhdueshëm të përcaktuar në një segment , ekziston një grup funksionesh polinomiale për n =0, 1, 2, …, secili prej shkallës të shumtën n, që i përafrohet me konvergjencë uniforme mbi [ a, b ] kur n tenton për në pafundësi, d.m.th.

Konsideroni rastin kur interpolohet përmes n +1 pikave të barabarta të një funksioni f ( x ) duke përdorur polinomin n -shkallë P n ( x ) që kalon nëpër ato pika. Natyrisht, mund të pritet nga teorema e Weierstrass se përdorimi i më shumë pikave do të çonte në një rindërtim më të saktë të f ( x ). Megjithatë, ky grup i veçantë i funksioneve polinomiale P n ( x ) nuk është i garantuar të ketë vetinë e konvergjencës uniforme; teorema thotë vetëm se ekziston një grup funksionesh polinomiale, pa ofruar një metodë të përgjithshme për të gjetur një të tillë .

e prodhuar në këtë mënyrë në fakt mund të largohet nga ndërsa n rritet; kjo zakonisht ndodh në një model oscilues që zmadhohet pranë skajeve të pikave të interpolimit. Zbulimi i kësaj dukurie ndodhi nga Runge. [2]

Problem[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Marrim në shqyrtim funksionin Runge

(një version i shkallëzuar i Shtrigës së Agnesit ). Runge zbuloi se nëse ky funksion interpolohet në pikat e baraslarguara xi ndërmjet − 1 dhe 1 në mënyrë të tillë që:

me një polinom të shkallës ≤ n, interpolimi që rezulton lëkundet drejt fundit të intervalit, pra afër − 1 dhe 1. Madje mund të vërtetohet se gabimi i interpolimit rritet (pa kufi) kur rritet shkalla e polinomit:

Kjo tregon se interpolimi polinomial i shkallës së lartë në pika të baraslarguara mund të jetë i mundimshëm.

Arsyeja[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Fenomeni i Runge është pasojë e dy vetive të këtij problemi.

  • Magnituda e derivateve të rendit n të këtij funksioni të veçantë rritet shpejt kur rritet n .
  • Baraslargësia ndërmjet pikave çon në një konstante Lebegu që rritet shpejt kur rritet n .

Dukuria është grafikisht e dukshme sepse të dyja vetitë kombinohen për të rritur magnitudën e lëkundjeve.

Gabimi ndërmjet funksionit gjenerues dhe polinomit interpolues të rendit n jepet nga

Metoda zbutëse[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Ndryshimi i pikave të interpolimit[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Lëkundjet mund të minimizohen duke përdorur nyjet që shpërndahen më dendur drejt skajeve të intervalit, konkretisht, me dendësi asimptotike (në segmentin [ -1, 1 ] ) të dhënë nga formula [3] . Një shembull standard i një grupi të tillë nyjesh janë nyjet e Çebishevit, për të cilat gabimi maksimal në përafrimin e funksionit Runge garantohet të zvogëlohet me rritjen e rendit polinom.

Përdorimi i polinomeve pjesë-pjesë[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Problemi mund të shmanget duke përdorur kurba spline të cilat janë polinome pjesë-pjesë. Kur përpiqet të zvogëlohet gabimi i interpolimit, mund të rritet numri i pjesëve polinomale që përdoren për të ndërtuar spline në vend të rritjes së shkallës së polinomeve të përdorura.

Nxënia e katrorëve më të vegjël[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Një metodë tjetër është nxënia e një polinomi të shkallës më të ulët duke përdorur metodën e katrorëve më të vegjël. Në përgjithësi, kur përdoren pika të baraslarguara, nëse atëherë përafrimi i katrorëve më të vegjël është i mirëkushtëzuar. [4]

polinomi i Bernshtajnit[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Duke përdorur polinomet e Bernshtajnit, mund të përafrohet në mënyrë të njëtrajtshme çdo funksion i vazhdueshëm në një interval të mbyllur, megjithëse kjo metodë është mjaft e kushtueshme nga ana llogaritëse.[nevojitet citimi]

Referime[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

  1. ^ Runge, Carl (1901), "Über empirische Funktionen und die Interpolation zwischen äquidistanten Ordinaten", Zeitschrift für Mathematik und Physik, vëll. 46, fq. 224–243. {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) available at www.archive.org
  2. ^ Epperson, James (1987). "On the Runge example". Amer. Math. Monthly. 94: 329–341. doi:10.2307/2323093. {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  3. ^ Berrut, Jean-Paul; Trefethen, Lloyd N. (2004), "Barycentric Lagrange interpolation", SIAM Review, vëll. 46 no. 3, fq. 501–517, CiteSeerX 10.1.1.15.5097, doi:10.1137/S0036144502417715, ISSN 1095-7200 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
  4. ^ Dahlquist, Germund; Björk, Åke (1974), "4.3.4. Equidistant Interpolation and the Runge Phenomenon", Numerical Methods, fq. 101–103, ISBN 0-13-627315-7 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)