Ekuacionet e shkallës së përgjithshme

Ekuacionet e shkallës së përgjithshme janë ekuacione të formuluara përmes variablave të cilat nëse zëvendësohen me konstanta të caktuara atëherë bëhen ekuacione të një shkalle të caktuar, varësisht nga konstantat me të cilat zëvendësohen variablat.

Zgjidhja e ekuacioneve te shkalles se përgjithshme

Le të marrim ekuacionin (polinomin) në formën e përgjithshme:

$f(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}$ ...(1)

Ekuacioni ka koeficient kompleks me rrënjë komplekse. Zgjidhja e këtij ekuacioni është gjetja e të gjitha vlerave të x për x = α për çka f(α) = 0. Në mënyre përshkruese zgjidhja e ekuacionit (1) është të shprehet rrënja e tij me anën e koeficienteve a₀, a₁, a₂, ... aₙ dhe me disa numra racional. Do të shqyrtojmë mundësinë e zgjidhjes së ekuacioneve me n radikale.

Shembull: Le të jetë P një fushë numerike dhe a një rrënjë e ekuacionit katror,

$P(x)=x^{2}+px+q$ ...(2)

të zbërthyeshëm mbi P me kusht që $a\notin P$

$x^{2}+px+q=0$ ...(3)

Nëse në ekuacionin (3) e zëvendësojmë shprehjen x = a + x' respektivisht x me a + x' do të fitojmë ekuacionin (4):

$(a+x')^{2}+p(a+x')+q=0\implies$

$a^{2}+2ax'+x'^{2}+pa+px'+q=0\implies$

$x'^{2}+x'(2a+p)+a^{2}+pa+q=0$ ...(4)

Gjejmë vlerën e a në mënyrë që (2a + p) = 0 respektivisht:

$a=-{\frac {p}{2}}$ ...(5)

Me zëvendësimin e shprehjes në formulën e (5) në ekuacionin e (4) do të fitojmë trajtën:

$x'^{2}-{\frac {p^{2}}{4}}+q=0$ ...(6)

Kështu nga shprehjet x = a + x' dhe $a=-{\frac {p}{2}}$ nga ekuacioni (3) fitojmë zgjedhjet:

$x_{1}=-{\frac {p}{2}}+{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$

dhe

$x_{2}=-{\frac {p}{2}}-{\sqrt {{\frac {p^{2}}{4}}-q}}$

Meqë është e mundur zgjidhja e këtij ekuacioni atëherë ekuacionet me n radikale duhet të shndërrohen në trajtën binomiale dhe rrënjët e ekuacionit shprehen me radikale që janë rrënjë të ekuacioneve binomiale.

Nëse e zëvendësojmë të panjohurën x me y + α ekuacioni do ta marrë këtë trajtë:

aₙyⁿ + (naₙα + aₙ₋₁)yⁿ⁻¹ + ... + aₙαⁿ + aₙ₋₁αⁿ⁻¹ + ... + a₀ = 0 ...(7)

Ekuacioni i lartëshenuar (7) duhet që ta plotësojë këtë kusht:

$na_{n}\alpha +a_{n-1}=0$ ose $\alpha =-{\frac {a_{n-1}}{na_{n}}}$ ...(8)

Dhe kështu ekuacioni i zgjedhur merr trajtën:

$a_{n}y^{n}+a_{n-2}y^{n-2}+\dots +a_{1}y+a_{0}=0$ ...(9)

Në këtë barazim e panjohura është y dhe është ndihmëse ku aₙ mund ta zëvendësojmë me bₙ, aₙ₋₂ me bₙ₋₂ etj.

Shih edhe

• Ekuacionet e shkallës së parë
• Ekuacionet e shkallës së dytë
• Ekuacionet e shkallës së tretë
• Ekuacionet e shkallës së katërt

Bibliografia

1. “Matematika për vitin e II matematiko natyrorë” Ivan Trajkov, Ilija Janev, Nikolla Petreski, Gligor Trençevski; (perktheu Muzafer Beqiri) - Shkup: Prosvetno Dello, 1990.
2. “Kursi i algjebrës së lartë” Dr: Emrush Gashi; ”Rilindja” - Prishtinë, 1976.
3. “Matematika për klasën e VII fillore” - ”Provetno Dello“ - Shkup 1994.