Ekuacioni Diferencial I Lagranzhit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Jump to navigation Jump to search

Ekuacioni diferencial i formës (1) y=xf( y’) + g( y’) ku f(y’) ≠ y’,f dhe g funksione të dhëna e të diferencueshme ne një interval, quhet ekuacion diferencial i Lagranzhit.Këtë ekuacion e zgjidhim me metodën e diferencimit .Po zëvendësojmë në (1) y’=p dhe do të marrim: (2) y=xf(p) + g(p) E derivojmë barazimin (2) në lidhje me x: p=f(p) + xf’(p)dp/dx + g’(p)dp/dx ose (3) p – f(p) = [xf’( p) + g’( p)dp/dx] 1.Në qoftë se p – f( p)≠0,atëherë e konsiderojmë x-in funksion të p dhe relacionin e fundit e shkruajmë në trajtën

      (4) dx/dp – f’(p)/[p-f(p)] ∙ x = g’( p)/p – f( p),   p – f( p)≠0 

i cili është ekuacion linear në lidhje me x dhe p.Nga ky ekuacion gjendet zgjidhja

      (5) x=φ(p,C)

e Zëvenësojmë (5) në (2) dhe do të kemi:

     (6) y = φ( p,C) ∙ f( p) + g( p) = ψ( p,C)

Prej nga zgjidhja e përgjithshme e ekuaciont të Lagranzhit në formën parametrike jepet me sistemin:

     x = φ( p,C)
          y =  ψ( p,C)

Në qoftë se nga ky sistem mund të eliminohet parametri p merret zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial në formën e zakonshme F(x,y,C) = 0 2.Në qoftë se për ndonjë vlerë konstrante p = p0 kemi p – f( p) = 0 atëherë duke zëvendësuar p = p0 dhe y’ = p0 në (1) gjejmë zgjidhjen:

  y=xf( p0) + g( p0)

e cila zgjidhje mund të mos merret nga zgjidhja e përgjithshme për asnjë vlerë të parametrit p.

Referime[redakto | përpunoni burim]

  • Matematika 2 - Hajdar Peci(Fakulteti i Inxhinierise Elektrike dhe Kompjuterike)
  • Matematika 3(Ejup Hamiti dhe Shqipe Lohaj) - Permbledhje Detyrash(Fakulteti i Inxhinieris Elektrike dhe Kompjuterike)