Faktori integrues

Në matematikë, një faktor integrues është një funksion që zgjidhet për të lehtësuar zgjidhjen e një ekuacioni të caktuar që përfshin diferenciale . Përdoret zakonisht për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme (EDZ), por përdoret gjithashtu brenda llogaritjeve me shumë ndryshore kur shumëzimi me një faktor integrues lejon që një diferencial i pasaktë të shndërrohet në një diferencial të saktë (i cili më pas mund të integrohet për të dhënë një fushë skalare ). Kjo është veçanërisht e dobishme në termodinamikë ku temperatura bëhet faktori integrues që e bën entropinë një diferencial të saktë.

Përdorni

Një faktor integrues është çdo shprehje me të cilën shumëzohet një ekuacion diferencial për të lehtësuar integrimin. Për shembull, ekuacioni jolinear i rendit të dytë

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}$

ka për faktor integrues ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ :

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.$

Për t'u integruar, vini re se të dyja anët e ekuacionit mund të shprehen si derivate duke shkuar mbrapa me rregullin zinxhir :

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).$

Atëherë,

$\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.$

ku $C_{0}$ është një konstante.

Kjo trajtë mund të jetë më e dobishme, në varësi të zbatimit. Kryerja e një ndarje të ndryshoreve do të japë

$\int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t$

Kjo është një zgjidhje e nënkuptuar që përfshin një integral jo-elementar . E njëjta metodë përdoret për të zgjidhur ekuacionin e periodës së një lavjerrësi të thjeshtë.

Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të parë

Faktorët integrues janë të dobishëm për zgjidhjen e ekuacioneve diferenciale të zakonshme që mund të shprehen në trajtën

$y'+P(x)y=Q(x)$

Ideja themelore është të gjesh një funksion, le të themi $M(x)$, i quajtur "faktori integrues", të cilin ne mund ta shumëzojmë në të dyja anët ekuacionit tonë diferencial në mënyrë që të sjellim anën e majtë nën një derivat të përbashkët. Për ekuacionin diferencial linear kanonik të rendit të parë të paraqitur më sipër, faktori integrues është $e^{\int P(x)\,dx}$ .

Le të jetë $M(x)$ faktori integrues i një ekuacioni diferencial linear të rendit të parë i tillë që shumëzimi me $M(x)$ të transformojë një derivat të pjesshëm në një derivat të plotë, atëherë:

1. $M(x){\underset {\text{partial derivative}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}$
2. $M(x)y'+M(x)P(x)y$
3. $\underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{total derivative}}$

Kalimi nga hapi 2 në hapin 3 e kërkon që $M(x)P(x)=M'(x)$, i cili është një ekuacion diferencial i ndashëm, zgjidhja e të cilit jep $M(x)$ ne kushtet e $P(x)$ :

2. $M(x)P(x)=M'(x)$
3. $P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}$
4. $\int P(x)\,dx=\ln M(x)+c$
5. $M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}$

Për të verifikuar, duke shumëzuar me $M(x)$ jep

$M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)$

Duke zbatuar rregullin e produktit në të kundërt, shohim se ana e majtë mund të shprehet si një derivat i vetëm në $x$

$M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)$

Ne e përdorim këtë fakt për të thjeshtuar shprehjen tonë

${\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)$

Integrimi i të dyja anëve sipas $x$ jep

$Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx$

$e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C$

ku $C$ është një konstante.

Duke kaluar eksponencialin në anën e djathtë, zgjidhja e përgjithshme për ekuacionin diferencial të zakonshëm është:

$y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}$

Në rastin e një ekuacioni diferencial homogjen, $Q(x)=0$ dhe zgjidhja e përgjithshme për EDZnë është:

$y=Ce^{-\int P(x)\,dx}$ .

për shembull, konsideroni ekuacionin diferencial

$y'-{\frac {2y}{x}}=0.$

Këtë mund ta shohim se në këtë rast $P(x)={\frac {-2}{x}}$

$M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}$

$M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}$

$M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

Duke shumëzuar të dyja anët me $M(x)$ marrim

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

Ekuacioni i mësipërm mund të rishkruhet si

${\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0$

Duke integruar të dyja anët në lidhje me $x$, ne marrim

$x^{-2}y=C$

ose

$y=Cx^{2}$

I njëjti rezultat mund të arrihet duke përdorur metodën e mëposhtme

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

${\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0$

${\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0$

${\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.$

Kthimi i rregullës së herësit jep

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

ose

${\frac {y}{x^{2}}}=C,$

ose

$y=Cx^{2}.$

ku $C$ është një konstante.

Zgjidhja e EDZve lineare të rendit të dytë

Metoda e faktorëve të integrimit për ekuacionet e rendit të parë mund të shtrihet natyrshëm edhe tek ekuacionet e rendit të dytë. Qëllimi kryesor në zgjidhjen e ekuacioneve të rendit të parë ishte gjetja e një faktori integrues $M(x)$ të tillë që duke u shumëzuar $y'+p(x)y=h(x)$ nga ajo do të merrej $(M(x)y)'=M(x)h(x)$, pas së cilës integrimi dhe pjesëtimi pasuese me $M(x)$ do të jepte $y$ . Për ekuacionet diferenciale lineare të rendit të dytë, nëse duam $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ të funksionojë si një faktor integrues, atëherë

$(M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)$

Kjo nënkupton që një ekuacion i rendit të dytë duhet të jetë saktësisht në formë $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ që faktori integrues të jetë i përdorshëm.

Shembulli 1

Për shembull, ekuacioni diferencial

$y''+2xy'+\left(x^{2}+1\right)y=0$

mund të zgjidhet pikërisht me faktorë integrues. Funksioni i përshtatshëm $p(x)$ mund të konkludohet duke shqyrtuar kufizën $y'$ . Në këtë rast, $2p(x)=2x$, kështu që $p(x)=x$ . Pas ekzaminimit të kufizës $y$ , ne shohim se ne në fakt kemi $p(x)^{2}+p'(x)=x^{2}+1$, kështu që ne do t'i shumëzojmë të gjitha kufizat me faktorin integrues $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ . Kjo na jep

$e^{x^{2}/2}y''+2e^{x^{2}/2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0$

të cilat mund të riorganizohen për të dhënë

$\left(e^{x^{2}/2}y\right)''=0$

Integrimi dy herë jep

$e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}$

Pjestimi me faktorin integrues jep:

$y={\frac {c_{1}x+c_{2}}{e^{x^{2}/2}}}$

Shembulli 2

Një zbatim pak më pak i dukshëm i faktorëve integrues të rendit të dytë përfshin ekuacionin diferencial të mëposhtëm:

$y''+2\cot(x)y'-y=1$

Në pamje të parë, duket qartë se kjo nuk është në formën e nevojshme për faktorët integrues të rendit të dytë. Ne kemi një kufizë $2p(x)$ përpara $y'$ por jo $p(x)^{2}+p'(x)$ para $y$ . Megjithatë,

$p(x)^{2}+p'(x)=\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)$

dhe nga identiteti pitagorian që lidhet me $\cot(x)$ dhe $\csc(x)$,

$\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1$

kështu që ne në fakt kemi kufizën e kërkuar para $y$ dhe mund të përdorim faktorin integrues.

$e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)$

Duke shumëzuar çdo kufizë me $\sin(x)$ jep

$\sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)$

e cila është riorganizuar si

$(\sin(x)y)''=\sin(x)$

Integrimi dy herë jep

$\sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}$

Së fundmi, pjesëtimi me faktorin integrues jep

$y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1$