Katrori i Binomit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Jump to navigation Jump to search

Në algjebër elementare, teorema binom (ose zgjerimi binomial) përshkruan zgjerimin algjebrik të fuqive të një binomi. Sipas teoremës, është e mundur të zgjerohet polinomi (x + y) n në një shumë që përfshin termat e formës a xb yc, ku eksponentët b dhe c janë integers jo-negativë me b + c = n dhe koeficienti a i çdo termi është një numër i plotë pozitiv në varësi të n dhe b. Për shembull:

Koeficienti a në termin e një xb yc njihet si koeficienti binomial ose (të dy kanë të njëjtën vlerë). Këta koeficientë për ndryshimin e n dhe b mund të rregullohen për të formuar trekëndëshin Pascal. Këto numra gjithashtu lindin në kombinatorikë, ku jep numrin e kombinimeve të ndryshme të elementëve b që mund të zgjidhen nga një element n i vendosur.

Shembuj[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Shembulli më themelor i teoremës binomiale është formula për katrorin e x + y:

Koeficientët binom 1, 2, 1 që paraqiten në këtë zgjerim korrespondojnë me rreshtin e dytë të trekëndëshit Pascal. (Vini re se lartësia "1" e trekëndëshit konsiderohet të jetë rreshti 0, sipas konventës.) Koeficientët e fuqive më të larta të x + y korrespondojnë me rreshtat më të ulëta të trekëndëshit:

Disa shpjegime në përgjithësi, për zgjerimin (x + y)n:

  1. fuqitë e x fillojnë në n dhe ulen me 1 në çdo afat deri sa të arrijnë 0 (me x0 = 1, shpesh të pashkruar);
  2. fuqitë e y fillojnë në 0 dhe rritet për 1 derisa të arrijnë formën n;
  3. rreshti i n-të i trekëndëshit të Pascalit do të jenë koeficientët e binomit të zgjeruar kur kushtet janë rregulluar në këtë mënyrë;
  4. numri i termave në zgjerimin para se termat të kombinohen, është shuma e koeficientëve dhe është e barabartë me 2n; dhe
  5. do të ketë terma n + 1 në shprehjen pas kombinimit të termave në zgjerim