Bra-ket

Notacioni Bra-Ket, është një formalizmi (sistem simbolesh) i shpikur nga Pol Dirak (Paul Dirac) për të thjeshtuar prezantimin e llogaritjeve në Mekanikën Kuantike në një mënyre sa më kompakte. Aparati matematik për përshkrimin e fenomeneve fizikë në degën e mekanikës kuantike përfshin kryesisht Algjebrën Lineare dhe Teorinë e Probabilitetit. Një "Ket" përcaktohet si një vektor në një hapësire Hilbertiane.

Bra dhe Ket

Përdorimi më i zakonshëm : Mekanika kuantike

Në mekanikën kuantike, gjendja e një sistemi fizik jepet nga rreze njësi në një hapësirë Hilbertiane të ndashme komplekse, ${\mathcal {H}}$, ose, në mënyre ekuivalente, nga një pikë në hapësirën projektive të sistemit. Çdo vektor në këtë rreze quhet një "ket" dhe shkruhet si $|\psi \rangle$, e cila lexohet si "ket psaj". (ψ mund të zëvendësohet me simbole, shkronja numra ose edhe fjale sipas rastit për ket.)

Ket mund të shikohet si një vektor kolonë dhe (në rast së kemi një bazë në hapësirën Hilbertiane) mund të shkruhet në komponentë,

$|\psi \rangle =(c_{0},c_{1},c_{2},...)^{T},$

ku hapësira Hilbertiane në fjalë është e fundme. Në një hapësirë dimensionale të pafundme ka një numër të pafundem komponentësh dhe ket mund të shkruhet në një notacion kompleks duke i ngjitur një bra (shiko më poshtë). Për shembull,

$\langle x|\psi \rangle =\psi (x)\ =ce^{-ikx}.$

Çdo ket $|\psi \rangle$ ka një bra duale, t shkruajtur si $\langle \psi |$. Për shembull, një bra që i korrespondon ketit $|\psi \rangle$ të më lartem do të jetë një vektor rreshti.

$\langle \psi |=(c_{0}^{*},c_{1}^{*},c_{2}^{*},...).$

Kjo është një funksional linear i vazhdueshëm nga $H$ numrat komplekse $\mathbb {C}$, i përcaktuar nga :

$\langle \psi |:H\to \mathbb {C} :\langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)=\operatorname {IP} \left(|\psi \rangle \;,\;|\rho \rangle \right)$ për të gjitha kets $|\rho \rangle$

ku $\operatorname {IP} (\cdot ,\cdot )$ jep produktin e brendshem të përcaktuar në hapësirën Hilbertiane. Në këtë rast avantazhi i notacionit bra-ket bëhet i qartë : kur lëshojmë parantezat (siç është e zakonshme me funksionet lineare) dhe bashkojmë se bashku vizat vertikale në marrim $\langle \psi |\rho \rangle$, e cila është një notacion i zakonshëm për produktin e brendshëm në hapësirën Hilbertiane. Ky kombinim i bra me ket formon një numër kompleks të quajtur bra-ket ose braket.

Vetitë

Notacioni bra-ket u dizenjua për lehtësimin e manipulimeve formale të shprehjeve linearo-algjebrike. Disa nga vetitë që lejojnë këto manipulime jepen me poshtë. Në seksionet e mëposhtme, c₁ dhe c₂ tregojnë numra komplekse arbitrare, c* qëndron për të konjuguarin komplex conjugate të c, A dhe B tregojnë operatore lineare arbitrare, dhe duhet theksuar se këto veti qëndrojnë për çfarëdo zgjedhje të bra dhe ket.

Anti-komutacioni

Vektori Bra është antikomutativi i Ket.

Një vektor Ket në hapësirën Hilbertiane mund të jetë

• një kolonë me elemente diskrete a1, a2, a3...
• një kolonë me një numër të pafundme elementesh

Në rastin e fundit normalizimi i Ket bëhet duke marrë parasysh konvergjencën e series në hapësirën vektoriale përkatëse.

Lineariteti

• Meqenëse bra janë funksionale lineare,

$\langle \phi |\;{\bigg (}c_{1}|\psi _{1}\rangle +c_{2}|\psi _{2}\rangle {\bigg )}=c_{1}\langle \phi |\psi _{1}\rangle +c_{2}\langle \phi |\psi _{2}\rangle .$

• Nga përcaktimi i mbledhjes dhe shumëzimit skalar të funksionaleve lineare në hapësirën duale,

${\bigg (}c_{1}\langle \phi _{1}|+c_{2}\langle \phi _{2}|{\bigg )}\;|\psi \rangle =c_{1}\langle \phi _{1}|\psi \rangle +c_{2}\langle \phi _{2}|\psi \rangle .$

Asociativiteti

Po te kemi një shprehje që përfshin numra komplekse, bra, ket, prodhime të brendshme, prodhime të jashtme, dhe/ose operatore lineare (me përjashtim të mbledhjes), te shkruara në notacionin bra-ket, grupimet në paranteza nuk kane rendësi (i.e., pra vetia e asociativitetit qëndron). Për shembull :

$\langle \psi |(A|\phi \rangle )=(\langle \psi |A)|\phi \rangle$

$(A|\psi \rangle )\langle \phi |=A(|\psi \rangle \langle \phi |)$

e kështu më rradhe. Shprehjet mund te shkruhen, ne mënyre koncize, pa paranteza. Vini re se vetia e asociativitetit nuk qëndron për shprehje qe përfshinë operatore jo-lineare, si operatori i rikthimit kohor antilinear në fizike.

Lexime të mëtejshme

• Feynman, Leighton and Sands (1965). The Feynman Lectures on Physics Vol. III (në anglisht). Addison-Wesley. ISBN 0-201-02115-3.

Lidhje të jashtme

• Richard Fitzpatrick, "Quantum Mechanics: A graduate level course", The University of Texas at Austin.
  • 1. Ket space
  • 2. Bra space
  • 3. Operators
  • 4. The outer product
  • 5. Eigenvalues and eigenvectors
• Robert Littlejohn, Lecture notes on "The Mathematical Formalism of Quantum mechanics", including bra-ket notation. Arkivuar 19 korrik 2011 tek Wayback Machine