Shihni burimin për Ligji i numrave të mëdhenj

[[Skeda:Lawoflargenumbers.svg|djathtas|parapamje| Një ilustrim i ligjit të numrave të mëdhenj duke përdorur një varg të veçantë hedhjesh të një zari të vetme. Ndërsa numri i hedhjeve në këtë drejtim rritet, mesatarja e vlerave të të gjitha rezultateve i afrohet 3.5. Me rritjen e numrit të hedhjeve, mesatarja e zgjedhjes priret drejt mesatares.]]
Në [[Teoria e probabilitetit|teorinë e probabilitetit]], '''ligji i numrave të mëdhenj''' ( '''LNM''' ) është një [[Teorema|teoremë]] që përshkruan rezultatin e kryerjes së të njëjtit eksperiment një numër të madh herësh. Sipas ligjit, mesatarja e rezultateve të marra nga një numër i madh provash duhet të jetë afër [[Pritja matematike|pritjes matematike/ mesatares]] dhe tenton të afrohet me pritjen matematike pasi kryhen më shumë prova. <ref name=":0">{{Cite book |last=Dekking |first=Michel |url=https://archive.org/details/modernintroducti00fmde |title=A Modern Introduction to Probability and Statistics |publisher=Springer |year=2005 |isbn=9781852338961 |pages=[https://archive.org/details/modernintroducti00fmde/page/n191 181]–190 |url-access=limited}}</ref>

LNM është i rëndësishëm sepse garanton rezultate të qëndrueshme afatgjata për mesataret e disa ngjarjeve të rastit. <ref name=":0">{{Cite book |last=Dekking |first=Michel |url=https://archive.org/details/modernintroducti00fmde |title=A Modern Introduction to Probability and Statistics |publisher=Springer |year=2005 |isbn=9781852338961 |pages=[https://archive.org/details/modernintroducti00fmde/page/n191 181]–190 |url-access=limited}}<cite class="citation book cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFDekking2005">Dekking, Michel (2005). <span class="cs1-lock-limited" title="Free access subject to limited trial, subscription normally required">[[iarchive:modernintroducti00fmde|''A Modern Introduction to Probability and Statistics'']]</span>. Springer. pp.&nbsp;[[iarchive:modernintroducti00fmde/page/n191|181]]–190. [[ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/9781852338961|<bdi>9781852338961</bdi>]].</cite></ref> <ref>{{Cite journal |last=Yao |first=Kai |last2=Gao |first2=Jinwu |date=2016 |title=Law of Large Numbers for Uncertain Random Variables |journal=IEEE Transactions on Fuzzy Systems |volume=24 |issue=3 |pages=615–621 |doi=10.1109/TFUZZ.2015.2466080 |issn=1063-6706}}</ref> Për shembull, edhe pse një kazino mund të humbasë para në një rrotullim të vetëm të rrotës së ruletës, fitimet e saj do të priren drejt një përqindjeje të parashikueshme për një numër të madh rrotullimesh. Çdo brez fitues nga një lojtar përfundimisht do të kapërcehet nga parametrat e lojës. Është e rëndësishme që ligji zbatohet (siç e tregon emri) vetëm kur merret parasysh një ''numër i madh'' vëzhgimesh. Nuk ka asnjë parim që një numër i vogël vëzhgimesh do të përkojë me vlerën e pritur ose që një varg i një vlere do të "baraspeshohet" menjëherë nga të tjerët (shih gabimin e lojtarit të fatit ).

LNM zbatohet vetëm për mesataren. Prandaj, ndërsa<math display="block">\lim_{n\to\infty} \sum_{i=1}^n \frac{X_i} n = \overline{X}</math>formula të tjera që duken të ngjashme nuk verifikohen, si p.sh. shmangia e papërpunuar nga "rezultatet teorike":<math display="block">\sum_{i=1}^n X_i - n\times\overline{X}</math>jo vetëm që nuk konvergon drejt zeros kur rritet ''n'', por tenton të rritet në vlerë absolute kur rritet ''n'' .

== Shembuj ==
Për shembull, një hedhje e vetme e një zari me gjashtë anë prodhon një nga numrat 1, 2, 3, 4, 5 ose 6, secili me [[Probabiliteti|probabilitet]] të barabartë. Prandaj, pritja matematike e mesatares së hedhjeve është:<math display="block"> \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3.5</math>Sipas ligjit të numrave të mëdhenj, nëse hidhet një numër i madh zaresh me gjashtë anë, mesatarja e vlerave të tyre (nganjëherë quhet mesatarja e mostrës ) do t'i afrohet 3,5 dhe saktësia vjen duke u rritur ndërsa hidhen më shumë zare.

Nga ligji i numrave të mëdhenj rezulton se probabiliteti empirik i suksesit në një seri provash Bernoulli do të konvergjojë në probabilitetin teorik. Për një [[Shpërndarja e Bernulit|ndryshore të rastit Bernuli]], pritja matematike është probabiliteti teorik i suksesit dhe mesatarja e ''n'' ndryshoreve të tilla (duke supozuar se janë të pavarura dhe të shpërndara identikisht (iid) ) është pikërisht frekuenca relative.

== Kufizimi ==
Mesatarja e rezultateve të marra nga një numër i madh provash mund të dështojë që të konvergjojë në disa raste. Për shembull, mesatarja e ''n'' rezultateve të marra nga [[Shpërndarja Cauchy|shpërndarja Koshi]] ose disa [[Shpërndarja Pareto|shpërndarje Pareto]] (α<1) nuk do të konvergjojë kur ''n'' bëhet më e madhe; arsyeja është bishti i rëndë . Shpërndarja Koshi dhe shpërndarja Pareto përfaqësojnë dy raste: shpërndarja Cauchy nuk ka një pritje, <ref>{{Cite book |last=Dekking |first=Michel |url=https://archive.org/details/modernintroducti00fmde |title=A Modern Introduction to Probability and Statistics |publisher=Springer |year=2005 |isbn=9781852338961 |pages=[https://archive.org/details/modernintroducti00fmde/page/n102 92] |url-access=limited}}</ref> ndërsa pritshmëria e shpërndarjes Pareto ( ''α'' <1) është e pafundme. <ref>{{Cite book |last=Dekking |first=Michel |url=https://archive.org/details/modernintroducti00fmde |title=A Modern Introduction to Probability and Statistics |publisher=Springer |year=2005 |isbn=9781852338961 |pages=[https://archive.org/details/modernintroducti00fmde/page/n74 63] |url-access=limited}}</ref> Një mënyrë për të gjeneruar shembullin e shpërndarë sipas Koshiut është kur numrat e rastit janë të barabartë me tangjentin e një këndi të shpërndarë në mënyrë të njëtrajtshme midis -90° dhe +90°. [[Mediana (statistikë)|Mesatarja]] është zero, por pritja nuk ekziston, dhe në të vërtetë mesatarja e ''n'' ndryshoreve të tilla ka të njëjtën shpërndarje si një ndryshore e tillë. Nuk konvergjon në probabilitet drejt zeros (ose ndonjë vlerë tjetër) pasi ''n'' shkon në pafundësi.

== Format ==
Ekzistojnë dy versione të ndryshme të '''ligjit të numrave të mëdhenj''' që përshkruhen më poshtë. Ata quhen '''''ligji i fortë''' i numrave të mëdhenj'' dhe '''''ligji i dobët''' i numrave të mëdhenj'' . <ref>{{Cite book |last=Bhattacharya |first=Rabi |title=A Course in Mathematical Statistics and Large Sample Theory |last2=Lin |first2=Lizhen |last3=Patrangenaru |first3=Victor |date=2016 |publisher=Springer New York |isbn=978-1-4939-4030-1 |series=Springer Texts in Statistics |location=New York, NY |doi=10.1007/978-1-4939-4032-5}}</ref> <ref name=":0">{{Cite book |last=Dekking |first=Michel |url=https://archive.org/details/modernintroducti00fmde |title=A Modern Introduction to Probability and Statistics |publisher=Springer |year=2005 |isbn=9781852338961 |pages=[https://archive.org/details/modernintroducti00fmde/page/n191 181]–190 |url-access=limited}}<cite class="citation book cs1" data-ve-ignore="true" id="CITEREFDekking2005">Dekking, Michel (2005). <span class="cs1-lock-limited" title="Free access subject to limited trial, subscription normally required">[[iarchive:modernintroducti00fmde|''A Modern Introduction to Probability and Statistics'']]</span>. Springer. pp.&nbsp;[[iarchive:modernintroducti00fmde/page/n191|181]]–190. [[ISBN]]&nbsp;[[Special:BookSources/9781852338961|<bdi>9781852338961</bdi>]].</cite></ref> Paraqitur për rastin kur <math>X_1,X_2,...,X_n</math> është një varg i pafundëm i n.r të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike (iid ) të integrueshme sipas Lebegut me pritje matematike <math>E(x_1)=E(x_2)=...=E(x_n)=\mu</math>, të dy versionet e ligjit thonë se mesatarja e mostrës<math display="block">\overline{X}_n=\frac1n(X_1+\cdots+X_n) </math>konvergjon tek pritja matematike:

<math>\bar{X_n}\longrightarrow \mu \text{     kur      } n \longrightarrow \infty </math>{{NumBlk||<math display="block">\overline{X}_n \to \mu \quad\textrm{as}\ n \to \infty.</math>|{{EquationRef|1}}}}(Integrueshmëria sipas Lebegut e <math>X_j </math> do të thotë se vlera e pritur <math>E(X_j) </math> ekziston sipas integralit lebegian dhe është e fundme. Kjo ''nuk'' do të thotë se masa e probabilitetit të lidhur është absolutisht e vazhdueshme në lidhje me masën e Lebegut . )

Tekstet hyrëse të probabilitetit shpesh supozojnë gjithashtu [[Varianca|variancë]] identike të fundme <math> \operatorname{Var} (X_i) = \sigma^2 </math> (per te gjithe <math>i</math> ) dhe nuk ka korrelacion midis ndryshoreve të rastit. Në atë rast, varianca e mesatares së n ndryshoreve të rastit është<math display="block">\operatorname{Var}(\overline{X}_n) = \operatorname{Var}(\tfrac1n(X_1+\cdots+X_n)) = \frac{1}{n^2} \operatorname{Var}(X_1+\cdots+X_n) = \frac{n\sigma^2}{n^2} = \frac{\sigma^2}{n}.</math>të cilat mund të përdoren për të shkurtuar dhe thjeshtuar provat. Ky supozim i [[Varianca|variancës]] së fundme ''nuk është i nevojshëm'' . Varianca e madhe ose e pafundme do ta bëjë konvergjencën më të ngadaltë, por LNM qëndron gjithsesi. <ref name="TaoBlog">{{Cite web |date=19 qershor 2008 |title=The strong law of large numbers – What's new |url=http://terrytao.wordpress.com/2008/06/18/the-strong-law-of-large-numbers/ |access-date=2012-06-09 |publisher=Terrytao.wordpress.com}}</ref>

=== Ligji i dobët ===
 {{multiple image|width1=50|image1=Blank300.png|width2=100|image2=Lawoflargenumbersanimation2.gif|footer=Simulim që ilustron ligjin e numrave të mëdhenj. Në çdo kornizë, hidhet një monedhë që është e kuqe në një anë dhe blu në tjetrën dhe një pikë vihet në shtyllën korresponduese. Një grafik qarkor tregon raportin e të kuqes me blunë deri në atë çast. Vini re se raporti varion ndjeshëm në hedhjet e para, i afrohet 50% me rritjen e numrit të hedhjeve.|width3=50|image3=Blank300.png}}
'''Ligji i dobët i numrave të mëdhenj''' (i quajtur edhe ligji i Khinchinit) thotë se mesatarja e mostrës konvergjon në probabilitet drejt pritjes matematike <ref>{{Harvnb|Loève|1977}}</ref>{{NumBlk||<math display="block">
    \overline{X}_n\ \overset{P}{\rightarrow}\ \mu \qquad\textrm{when}\ n \to \infty.
</math>|{{EquationRef|2}}}}<math>  \overline{X}_n\ \overset{P}{\rightarrow}\ \mu \qquad\textrm{kur }\ n \to \infty. </math>

Kjo do të thotë, për çdo numër pozitiv ''ε'' ,<math display="block">
  \lim_{n\to\infty}\Pr\!\left(\,|\overline{X}_n-\mu| < \varepsilon\,\right) = 1.
</math>Duke interpretuar këtë rezultat, ligji i dobët thotë se për çdo ndryshesë jozero të specifikuar ( ''ε'' ), sado e vogël, me një kampion mjaft të madh do të ketë një probabilitet shumë të lartë që mesatarja e vëzhgimeve të jetë afër vlerës së pritur; pra brenda marzhit.

Siç u përmend më herët, ligji i dobët zbatohet në rastin e ndryshoreve të rastit iid, por gjithashtu zbatohet në disa raste të tjera. Për shembull, varianca mund të jetë e ndryshme për çdo ndryshore të rastit në seri, duke e mbajtur pritjen matematike konstante. Nëse variancat janë të kufizuara, atëherë zbatohet ligji, siç tregohet nga Chebyshev që në 1867. (Nëse pritjet matematike ndryshojnë gjatë serisë, atëherë thjesht mund të zbatojmë ligjin për shmangien mesatare nga pritjet matematike përkatëse. Më pas ligji thotë se kjo konvergjon në probabilitet drejt zeros. ) Në fakt, prova e Çebishevit funksionon për aq kohë sa varianca e mesatares së ''n'' vlerave të para shkon në zero ndërsa ''n'' shkon në pafundësi. <ref name="EncMath">{{Cite web |last=Yuri Prohorov |author-link=Yuri Vasilyevich Prokhorov |title=Law of large numbers |url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Law_of_large_numbers |website=Encyclopedia of Mathematics |publisher=EMS Press}}</ref> Si shembull, supozoni se çdo ndryshore e rastit në seri ndjek një [[Shpërndarja normale|shpërndarje normale]] me mesatare zero, por me variancë të barabartë me <math>2n/\log(n+1)</math>, e cila nuk është e kufizuar. Në çdo fazë, mesatarja do të shpërndahet normalisht (si mesatarja e një grupi variablash të shpërndarë normalisht). Varianca e shumës është e barabartë me shumën e variancave, e cila është asimptotike ndaj <math>n^2 / \log n</math> . Prandaj varianca e mesatares është asimptotike ndaj <math>1 / \log n</math> dhe shkon në zero.

=== Ligji i fortë ===
'''Ligji i fortë i numrave të mëdhenj''' (i quajtur edhe ligji i Kollmogorovit ) thotë se mesatarja e mostrës konvergjon pothuajse me siguri drejt pritjes matematike <ref>{{Harvnb|Loève|1977}}</ref>{{NumBlk||<math display="block">
    \overline{X}_n\ \overset{\text{a.s.}}{\longrightarrow}\ \mu \qquad\textrm{when}\ n \to \infty.
</math>|{{EquationRef|3}}}}<math>   \overline{X}_n\ \overset{\text{a.s.}}{\longrightarrow}\ \mu \qquad\textrm{when}\ n \to \infty. </math>

Kjo është,<math display="block">
  \Pr\!\left( \lim_{n\to\infty}\overline{X}_n = \mu \right) = 1.
</math>Çfarë do të thotë kjo është se probabiliteti që, ndërsa numri i provave ''n'' shkon në pafundësi, mesatarja e vëzhgimeve konvergjon në vlerën e pritur, është e barabartë me një. Prova moderne e ligjit të fortë është më e ndërlikuar se ajo e ligjit të dobët dhe mbështetet në kalimin në një vijimësi të përshtatshme. <ref name="TaoBlog">{{Cite web |date=19 qershor 2008 |title=The strong law of large numbers – What's new |url=http://terrytao.wordpress.com/2008/06/18/the-strong-law-of-large-numbers/ |access-date=2012-06-09 |publisher=Terrytao.wordpress.com}}<cite class="citation web cs1" data-ve-ignore="true">[http://terrytao.wordpress.com/2008/06/18/the-strong-law-of-large-numbers/ "The strong law of large numbers – What's new"]. Terrytao.wordpress.com. 19 June 2008<span class="reference-accessdate">. Retrieved <span class="nowrap">2012-06-09</span></span>.</cite></ref>

Quhet ligji i fortë sepse ndryshoret e rastit që konvergjojnë fortë (pothuajse me siguri) garantohen të konvergjojnë dobët (në probabilitet). Megjithatë ligji i dobët dihet se vlen në kushte të caktuara ku ligji i fortë nuk vlen dhe atëherë konvergjenca është vetëm e dobët (në probabilitet). 

Ligji i fortë zbatohet për ndryshore të rastit të pavarura të shpërndara identikisht që kanë një pritje matematike (si ligji i dobët). Kjo u vërtetua nga Kollmogorovi në 1930. Mund të zbatohet edhe në raste të tjera. Kollmogorovi tregoi gjithashtu, në 1933, se nëse ndryshoret janë të pavarura dhe të shpërndara në mënyrë identike, atëherë që mesatarja të konvergjojë pothuajse me siguri drejt ''diçkaje'' (kjo mund të konsiderohet një deklaratë tjetër e ligjit të fortë), është e nevojshme që ato të kenë një pritje matematike ( dhe pastaj sigurisht mesatarja do të konvergjojë pothuajse me siguri në këtë). <ref name="EMStrong">{{Cite web |last=Yuri Prokhorov |title=Strong law of large numbers |url=https://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Strong_law_of_large_numbers |website=Encyclopedia of Mathematics}}</ref>

Nëse shumat janë të pavarura, por jo të shpërndara identikisht, atëherë{{NumBlk||<math display="block">
    \overline{X}_n - \operatorname{E}\big[\overline{X}_n\big]\ \overset{\text{a.s.}}{\longrightarrow}\ 0,
</math>|{{EquationRef|2}}}}<math>   \overline{X}_n - \operatorname{E}\big[\overline{X}_n\big]\ \overset{\text{p.s.}}{\longrightarrow}\ 0 </math>

me kusht që çdo <math>  X_k </math> të ketë një moment të dytë të fundëm dhe<math display="block">
  \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k^2} \operatorname{Var}[X_k] < \infty.
</math>

=== Dallimet midis ligjit të dobët dhe ligjit të fortë ===
''Ligji i dobët'' thotë se për një ''n'' të madhe të caktuar, mesatarja <math style="vertical-align:-.35em">\overline{X}_n</math> ka gjasa të jetë afër ''μ'' . Kështu, e lë të hapur mundësinë që <math style="vertical-align:-.4em">|\overline{X}_n -\mu| > \varepsilon</math> të ndodhë një numër i pafundëm herësh, edhe pse në intervale të rralla. (Jo domosdoshmërisht <math style="vertical-align:-.4em">|\overline{X}_n -\mu| \neq 0</math> për të gjithë ''n'' ).

''Ligji i fortë'' tregon se kjo pothuajse me siguri nuk do të ndodhë. Nuk do të thotë që me probabilitetin 1, kemi që për çdo <math>  \epsilon > 0  </math> mosbarazimi <math style="vertical-align:-.4em">|\overline{X}_n -\mu| < \varepsilon</math> vlen për të gjitha ''n'' mjaft të mëdha, pasi konvergjenca nuk është domosdoshmërisht e njëtrajtshme në bashkësinë ku qëndron. <ref>{{Harvard citation text|Ross|2009}}</ref>

Ligji i fortë nuk vlen në rastet e mëposhtme, por vlen ai i dobët. <ref name="Weak law converges to constant">{{Cite book |last=Lehmann |first=Erich L. |url=https://books.google.com/books?id=K6t5qn-SEp8C&pg=PA432 |title=Weak law converges to constant |last2=Romano |first2=Joseph P. |date=2006-03-30 |publisher=Springer |isbn=9780387276052}}</ref> <ref>{{Cite journal |last=Dguvl Hun Hong |last2=Sung Ho Lee |year=1998 |title=A Note on the Weak Law of Large Numbers for Exchangeable Random Variables |url=http://www.mathnet.or.kr/mathnet/kms_tex/31810.pdf |url-status=dead |journal=Communications of the Korean Mathematical Society |volume=13 |issue=2 |pages=385–391 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160701234328/http://www.mathnet.or.kr/mathnet/kms_tex/31810.pdf |archive-date=2016-07-01 |access-date=2014-06-28}}</ref>{{ordered list|Let X be an [[Exponential distribution|exponentially]] distributed random variable with parameter 1. The random variable <math>\sin(X)e^X X^{-1}</math> has no expected value according to Lebesgue integration, but using conditional convergence and interpreting the integral as a [[Dirichlet integral]], which is an improper [[Riemann integral]], we can say:

<math display="block"> E\left(\frac{\sin(X)e^X}{X}\right) =\ \int_{x=0}^{\infty}\frac{\sin(x)e^x}{x}e^{-x}dx = \frac{\pi}{2} </math>|Let X be a [[Geometric distribution|geometrically]] distributed random variable with probability 0.5. The random variable <math>2^X(-1)^X X^{-1}</math> does not have an expected value in the conventional sense because the infinite [[Series (mathematics)|series]] is not absolutely convergent, but using conditional convergence, we can say:

<math display="block"> E\left(\frac{2^X(-1)^X}{X}\right) =\ \sum_{x=1}^{\infty}\frac{2^x(-1)^x}{x}2^{-x}=-\ln(2) </math>|If the [[cumulative distribution function]] of a random variable is

<math display="block">\begin{cases}
1-F(x)&=\frac{e}{2x\ln(x)},&x \ge e \\
F(x)&=\frac{e}{-2x\ln(-x)},&x \le -e
\end{cases}</math>

then it has no expected value, but the weak law is true.<ref>{{cite web|last1=Mukherjee|first1=Sayan|title=Law of large numbers| url=http://www.isds.duke.edu/courses/Fall09/sta205/lec/lln.pdf|access-date=2014-06-28|archive-url=https://web.archive.org/web/20130309032810/http://www.isds.duke.edu/courses/Fall09/sta205/lec/lln.pdf|archive-date=2013-03-09| url-status=dead}}</ref><ref>{{cite web|last1=J. Geyer|first1=Charles|title=Law of large numbers| url=http://www.stat.umn.edu/geyer/8112/notes/weaklaw.pdf}}</ref>|4=Let ''X''<sub>''k''</sub> be plus or minus <math display="inline">\sqrt{k/\log\log\log k}</math> (starting at sufficiently large ''k'' so that the denominator is positive) with probability {{frac|1|2}} for each.<ref name=EMStrong/> The variance of ''X''<sub>''k''</sub> is then <math>k/\log\log\log k.</math> Kolmogorov's strong law does not apply because the partial sum in his criterion up to ''k''&nbsp;=&nbsp;''n'' is asymptotic to <math>\log n/\log\log\log n</math> and this is unbounded. If we replace the random variables with Gaussian variables having the same variances, namely <math display="inline">\sqrt{k/\log\log\log k}</math>, then the average at any point will also be normally distributed. The width of the distribution of the average will tend toward zero (standard deviation asymptotic to <math display="inline">1/\sqrt{2\log\log\log n}</math>), but for a given ''ε'', there is probability which does not go to zero with ''n'', while the average sometime after the ''n''th trial will come back up to ''ε''. Since the width of the distribution of the average is not zero, it must have a positive lower bound ''p''(''ε''), which means there is a probability of at least ''p''(''ε'') that the average will attain ε after ''n'' trials. It will happen with probability ''p''(''ε'')/2 before some ''m'' which depends on ''n''. But even after ''m'', there is still a probability of at least ''p''(''ε'') that it will happen. (This seems to indicate that ''p''(''ε'')=1 and the average will attain ε an infinite number of times.)}}

# Le të jetë <math>  X </math> një n.r e shpërndarë eksponencialisht me parametër 1. Ndryshorja e rastit  <math>\sin(X)e^X X^{-1}</math> nuk ka pritje matematike sipas integralit të Lebegut, por duke përdorur konvergjencën e kushtëzuar dhe duke e interpretuar integralin si një integral Dirishlet i cili është një integral Riman jo i vetë, mund të shkruajmë se:<math display="block"> E\left(\frac{\sin(X)e^X}{X}\right) =\ \int_{x=0}^{\infty}\frac{\sin(x)e^x}{x}e^{-x}dx = \frac{\pi}{2} </math>
# Le të jetë <math>  X </math> një n.r [[Shpërndarja gjeometrike|e shpërndarë gjeometrikisht]] me probabilitet 0.5. Ndryshorja e rastit <math>2^X(-1)^X X^{-1}</math> nuk ka pritje matematike në sensin klasik sepse seria e pafundme nuk është absolutisht konvergjente por duke përdorur konvergjencën e kushtëzuar mund të shkruajmë:<math display="block"> E\left(\frac{2^X(-1)^X}{X}\right) =\ \sum_{x=1}^{\infty}\frac{2^x(-1)^x}{x}2^{-x}=-\ln(2) </math>
# Nëse funksioni mbledhës i shpërndarjes së një ndryshoreje rasti është:<math>  \begin{cases}
1-F(x)&=\frac{e}{2x\ln(x)},&x \ge e \\
F(x)&=\frac{e}{-2x\ln(-x)},&x \le -e
\end{cases} </math>, atëherë nuk ka pritje matematike por vlen ligji i dobët.
# Le të jetë <math>  X_k </math> pluzs minus <math>  \sqrt{k/\log\log\log k} </math> ( e cila fillon për <math>  k </math> mjaftueshëm të mëdha në mënyrë që emëruesi të jetë pozitiv) me probabilitet <math>  \frac{1}{2} </math> për secilën. Varianca e <math>  X_k </math> atëherë është <math>  k / \log \log \log k </math>. Ligji i fortë i Kollmogorovit nuk vlen pasi shuma e pjesshme e kriterit të tij deri në <math>  k=n </math> është asimptotike me <math>  \log n / \log \log \log n </math> dhe kjo është e pakufizuar. Nëse i zëvëndësojmë n.r me ndryshore normale me variancë të njëjtë, atëherhë mestarja në çdo pikë do të shpërndahet normalisht. Gjerësia e shpërndarjes do të priret drejt 0 ( shmangia standarde asimptotike me <math>  1 / \sqrt{2 \log \log \log n} </math>) por për një <math>  \epsilon </math> të dhënë, ka probabilitet që të mos shkojë drejt zeros me rritjen e <math>  n </math>, ndërsa mesatarja ndonjëherë pas provës së n-të do të kthehet prapë drejt <math>  \epsilon </math>. 

=== Ligji uniform i numrave të mëdhenj ===
Supozoni se <math>  f(x,\theta) </math> është një funksion i përcaktuar për <math>  \theta \in \Theta </math>, dhe i vazhdueshëm në <math>  \theta </math> . Atëherë për çdo <math>  \theta </math> fikse, vargu { <math>  f(X_1,\theta),f(X_2, \theta)... </math>} do të jetë një varg i ndryshoreve të rastit të pavarura dhe të shpërndara identikisht, i tillë që mesatarja e mostrës së këtij vargu konvergjon në probabilitet tek <math>  E[f(X, \theta)] </math>. Kjo është konvergjenca ''pikësore'' (në <math>  \theta </math> ).

'''Ligji uniform i numrave të mëdhenj''' përcakton kushtet në të cilat konvergjenca ndodh ''në mënyrë të njëtrajtshme'' në ''θ'' . Nëse <ref>{{Harvnb|Newey|McFadden|1994}}</ref> <ref>{{Cite journal |last=Jennrich |first=Robert I. |year=1969 |title=Asymptotic Properties of Non-Linear Least Squares Estimators |journal=The Annals of Mathematical Statistics |volume=40 |issue=2 |pages=633–643 |doi=10.1214/aoms/1177697731 |doi-access=free}}</ref>

# <math>  \Theta </math> është kompakte,
# <math>  f(x;\theta) </math> është i vazhdueshëm në çdo <math>  \theta \in \Theta </math> për pothuajse të gjitha <math>  x </math>''-et'', dhe funksion i matshëm i <math>  x </math> në çdo <math>  \theta </math> .
# Ekziston një funksion dominues <math>  d(x) </math> i tillë që <math>  E[d(X)] > \infty </math>, dhe <math display="block"> \left\| f(x,\theta) \right\| \leq d(x) \quad\text{for all}\ \theta\in\Theta.</math>

Atëherë <math>  E[f(x;\theta)] </math> është e vazhdueshme në <math>  \theta </math>, dhe<math display="block">
  \sup_{\theta\in\Theta} \left\| \frac 1 n \sum_{i=1}^n f(X_i,\theta) - \operatorname{E}[f(X,\theta)] \right\| \overset{\mathrm{P}}{\rightarrow} \ 0.
 </math>

=== Ligji i Borelit për numrat e mëdhenj ===
'''Ligji i Borelit për numrat e mëdhenj''', i quajtur sipas Emil Borelit, thotë se nëse një eksperiment përsëritet një numër të madh herësh, në mënyrë të pavarur në kushte identike, atëherë raporti i herëve që ndodh çdo ngjarje e specifikuar, është afërsisht i barabartë me probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes në çdo provë të veçantë; sa më i madh të jetë numri i përsëritjeve, aq më i mirë priret të jetë përafrimi. Më saktë, nëse ''E'' tregon ngjarjen në fjalë, ''p'' probabilitetin e saj të ndodhjes, dhe <math>  N_n(E) </math> numrin e herëve që ndodh ''E'' në ''n'' provat e para, atëherë me probabilitetin një, <ref>{{Cite journal |last=Wen |first=Liu |date=1991 |title=An Analytic Technique to Prove Borel's Strong Law of Large Numbers |url=https://www.jstor.org/stable/2323947 |journal=The American Mathematical Monthly |volume=98 |issue=2 |pages=146–148 |doi=10.2307/2323947 |jstor=2323947}}</ref><math display="block"> \frac{N_n(E)}{n}\to p\text{ as }n\to\infty.</math>'''Mosbarazimi i Çebishevit''' . Le të jetë <math>  X </math> një [[Ndryshorja e rastit|ndryshore e rastit]] me [[Pritja matematike|pritje matematike të fundme]] <math>  \mu </math> dhe [[Varianca|variancë]] të fundme jo zero <math>  \sigma^2 </math> . Atëherë për çdo [[Numrat realë|numër real]] <math>  k>0 </math>,<math display="block">
  \Pr(|X-\mu|\geq k\sigma) \leq \frac{1}{k^2}.
</math>

== Shiko gjithashtu ==

* [[Vetia e barazndarjes asimptotike]]
* [[Teorema Qëndrore Limite|Teorema e qëndrore limite]]
* [[Teorema e majmunit të pafund|Teorema e majmunit të pafundëm]]
* [[Ligji i mesatareve]]
* [[Ligji i logaritmit të përsëritur]]
* [[Ligji i numrave vërtet të mëdhenj]]
* [[Efekti Lindy]]
* [[Regresioni drejt mesatares|Regresi drejt mesatares]]
* [[Renditja]]
* [[Ligji i fortë i numrave të vegjël]]

[[Kategoria:Faqe me përkthime të pashqyrtuara]]