Numrat e përsosur

Numër i përsosur quhet numri natyror, i cili është i barabartë me shumën e pjesëtuesve të tij, përveç vetë numrit. Numër i përsosur është edhe ai numër i cili është i barabartë me gjysmën e shumës së të gjithë pjesëtuesve të tij.

Numri më i vogël i përsosur është numri 6 , sepse 1, 2, dhe 3 janë pjesëtuesit e tij e kemi përjashtuar 6, dhe 1+2+3=6.

Pastaj numri i dytë i përsosur është 28 =1+2+4+7+14. dy numrat vijues janë 496 dhe numri 8128.

Këta katër numra të përsosur ishin të vetmit të njohur në fillimet e matematikës në Greqinë antike.

Nga Euklidi te Euleri

Euklidi në veprën e tij "Еlementet" shkruante për katër numrat e parë të përsosur dhe tregoi se ata mund të llogariten sipas formulës

$2^{n-1}(2^{n}-1)$,

këtu $2^{n}-1$ duhet të jetë numër i thjeshtë.

• për n = 2: $2^{1}(2^{2}-1)$ = 6 = 1 + 2 + 3
• për n = 3: $2^{2}(2^{3}-1)$ = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
• për n = 5: $2^{4}(2^{5}-1)$ = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
• për n = 7: $2^{6}(2^{7}-1)$ = 8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Më shumë se 1000 vjet pas Euklidit matematikani arab Alhazemi pohon se ç'do numër i përsosur çift është i trajtës

$2^{n-1}(2^{n}-1)$, nëse $2^{n}-1$ është numër i thjeshtë por nuk mund të vërtetonte këtë pohim. Në shekullin XVIII Leonard Euleri e dha vërtetimin e këtij rezultati dhe vërtetoi se me formulën e mësipërme fitohen të gjithë numrat e përsosur çift dhe gjeti një pasqyrim biektiv ndërmjet numrave të përsosur çift dhe numrave të thjeshtë të Меrsenneit, të cilët janë të trajtës $2^{n}-1$ ku n është numër i thjeshtë. Ky rezultat so njihet si Teorema e Еuklid-Eulerit.

Gjendja aktuale e problemit

Deri në shtator të vitit 2007 njiheshin vetëm 44 numra të thjeshtë të Mersenneit rrjedhimisht edhe 44 numra të përsosur çift të cilët fitohen për

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657.

Numri më i madh është numri 232 582 656 × (232 582 657 − 1) i cili në sistemin dhjetor shkruhet me 19 616 714 shifra.

Deri më sot nuk dihet se bashkësia e numrave të Mersenneit rrjedhimisht bashkësia e numrave të përsosur çift është e fundme apo e pafundme për gjetjen e numrave të tillë sot shfrytëzohen kompjuterë mjaft të fuqishëm.

përvmendim të gjithë numrat e përsosur të njohur deri më sot më të vegjël se < 10¹⁸ janë çift. Nuk dihet se a ka ndonjë numër të përsosur tek ky është edhe një problem i hapur.

Shih edhe

Numri i thjeshtë

Lidhje të jashtme

• David Moews: Perfect, amicable and sociable numbers
• Perfect numbers - History and Theory
• OddPerfect.org Projekt për ekzistencën e numrave të të përsosur tek