Numrat e përsosur

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Numër i përsosur quhet numri natyral i cili është i barabartë me shumën e pjestuesëve të tij përveç vetë numrit. Ose numër i përsosur është ai numër i cili është i barabartë me gjysmën e shumës së të gjithë pjestuesve të tij.

Numri më i vogël i përsosur është numri 6 , sepse 1, 2, dhe 3 janë pjestuesit e tij e kemi përjashtuar 6, dhe 1 + 2 + 3 = 6.

Pastaj numri i dytë i përsosur është 28  = 1 + 2 + 4 + 7 + 14. dy numrat vijues janë 496 dhe numri 8128.

Këto katër numra të përsosur ishin të vetmit të njohur në fillimet e matematikës në Greqinë antike.

Nga Euklidi te Euleri[redakto | redakto tekstin burimor]

Euklidi në veprën e tij "Еlementet" shkruante për katër numrat e parë të përsosur dhe tregoi se ata mund të llogariten sipas formulës

2^{n-1}(2^n - 1),

këtu 2^n - 1 duhet të jetë numër i thjeshtë.

  • për n = 2: 2^1(2^2-1) = 6 = 1 + 2 + 3
  • për n = 3: 2^2(2^3-1) = 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  • për n = 5: 2^4(2^5-1) = 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248
  • për n = 7: 2^6(2^7-1) = 8 128 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508 + 1016 + 2032 + 4064

Më shumë se 1000 vjet pas Euklidit matematikani arab Alhazemi pohon se ç'do numër i përsosur çift është i trajtës

2^{n-1}(2^n - 1), nëse 2^n - 1 është numër i thjeshtë por nuk mund të vërtetonte këtë pohim. Në shekullin XVIII Leonard Euleri e dha vërtetimin e këtij rezultati dhe vërtetoi se me formulën e mësipërme fitohen të gjithë numrat e përsosur çift dhe gjeti një pasqyrim biektiv ndërmjet numrave të përsosur çift dhe numrave të thjeshtë të Меrsenneit, të cilët janë të trajtës 2^n - 1 ku n është numër i thjeshtë. Ky rezultat so njihet si Teorema e Еuklid-Eulerit.

Gjendja aktuale e problemit[redakto | redakto tekstin burimor]

Deri në shtator të vitit 2007 njiheshin vetëm 44 numra të thjeshtë të Mersenneit rrjedhimisht edhe 44 numra të përsosur çift të cilët fitohen për

n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657.

Numri më i madh është numri 232 582 656 × (232 582 657 − 1) i cili në sistemin dhjetor shkruhet me 19 616 714 shifra.

Deri më sot nuk dihet se bashkësia e numrave të Mersenneit rrjedhimisht bashkësia e numrave të përsosur çift është e fundme apo e pafundme për gjetjen e numrave të tillë sot shfrytëzohen kompjuterë mjaft të fuqishëm.

përvmendim të gjithë numrat e përsosur të njohur deri më sot më të vegjël se < 1018 janë çift. Nuk dihet se a ka ndonjë numër të përsosur tek ky është edhe një problem i hapur.

Lista e 10 numrave të parë të përsosur[redakto | redakto tekstin burimor]

  • 6
  • 28
  • 496
  • 8 128
  • 33 550 336
  • 8 589 869 056
  • 137 438 691 328
  • 2 305 843 008 139 952 128
  • 2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176
  • 191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216

Shih edhe[redakto | redakto tekstin burimor]

Numri i thjeshtë

Lidhje të jashtme[redakto | redakto tekstin burimor]