Numri e

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Numri e së bashku me numrat 0 , 1,  pi dhe njësinë imagjinare i është njëra prej konstantave më të rëndësishme në matematikë. Numri e është numri i vetëm real i tillë që funksioni ex gjatë derivimit të tij nuk ndryshon. Funksioni ex quhet funksion eksponencial dhe funksioni inverz i tij është funksion logaritmik i cili për bazë e ka pikërisht numrin e. Numri e quhet edhe numër i Eulerit.

Pasi e është numër transcedent dhe iracional vlera e tij nuk mund të jepet në formë të një numri decimal të fundëm por ai është një numër decimal i pafundëm dhe joperiodik vlera etij me 20 shifra decimale është

2.71828 18284 59045 23536….

Historiku[redakto | redakto tekstin burimor]

Konstanta e për herë të parë u shfaq në vitin 1618 në punimet në lidhje me logaritmet të matematikanit skocez John Napier jo si konstantë e izoluar, por vetëm si bazë e logaritmeve. Zbulimi i atribuohet matematikanit zviceran Jacob Bernoulli, i cili u përpoq të gjejë limitin e vargut:

\lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n.

vlera e të cilit në fakt është numri e (shënimi me këtë germë është dhënë nga matematikani Leonhard Euler në vitin 1727).

Paraqitja e numrit e[redakto | redakto tekstin burimor]

Numri e shfaqet në mënyra të ndryshme edhe atë si seri e pafundme, prodhim i pafundëm, thyesë e vazhdueshme, ose si limit i një vargu të pafundëm paraqitje kjo e cila është edhe kryesorja dhe merret si përkufizuesja e numrit në kurset fillestare të analizës matematike

\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^n,

Për llogaritjen e vlerës së tij me saktësi të dëshiruar më e përshtatshme është seria e pafundme

e=\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!}

e cila konvergjon shumë shpejt.

Një paraqitje si thyesë e pafundme e vazhdueshme është kjo:

e=2+
\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 {\mathbf 2}+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 1+\cfrac{1}{
 {\mathbf 4}+\cfrac{1}{
 \ddots
 }
 }
 }
 }
 }
}

Numri e dhe numrat kompleks[redakto | redakto tekstin burimor]

Funksioni eksponencial ex si seri e Taylorit jepet me

 e^{x} = 1 + {x \over 1!} + {x^{2} \over 2!} + {x^{3} \over 3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!}

nga ky barazim nëse në vend të x zëvendësojmë ix. dhe nëse kemi parasysh zhvillimin në seri të Taylorit për Funksionet trigonometrike sin x dhe cos x' atëherë e fitojmë formulën e Eulerit:

e^{ix} = \cos x + i\sin x,\,\!

nga e cila për x = π fitohet identiteti i Eulerit:

e^{i\pi}+1 =0 .\,\!

Ngjajshëm,

e^{i\pi}=-1,\,\!

prej ku rrjedh se

\log_e (-1) = i\pi.\,\!

Për më tepër sipas vetive të fuqive

(\cos x + i\sin x)^n = \left(e^{ix}\right)^n = e^{inx} = \cos (nx) + i \sin (nx),

ky barazim njihet si Formula e de Moivreit.

Lidhje të jashtme[redakto | redakto tekstin burimor]