Përafrimi binomial

Përafrimi binomial është i dobishëm për përafërsisht llogaritjen e fuqive të 1 plus një numër të vogël $x$ . Aty thuhet se

$(1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x.$

Është e vlefshme kur $|x|<1$ dhe $|\alpha x|\ll 1$ ku $x$ dhe $\alpha$ mund të jenë numra realë ose kompleksë.

Përfitimi i këtij përafrimi është se $\alpha$ konvertohet nga një eksponent në një faktor shumëzues. Kjo mund të thjeshtojë shumë shprehjet matematikore (si në shembullin më poshtë ) dhe është një mjet i zakonshëm në fizikë.

Derivimet

Përdorimi i përafrimit linear

Funksioni

$f(x)=(1+x)^{\alpha }$

është një funksion i lëmuar për $x$ afër 0. Kështu, zbatohen mjetet standarde të përafrimit linear nga llogaritja : merret

$f'(x)=\alpha (1+x)^{\alpha -1}$

dhe kështu

$f'(0)=\alpha .$

Kështu

$f(x)\approx f(0)+f'(0)(x-0)=1+\alpha x.$

Nga teorema e Taylor-it, gabimi në këtë përafrim është i barabartë me ${\textstyle {\frac {\alpha (\alpha -1)x^{2}}{2}}\cdot (1+\zeta )^{\alpha -2}}$ për disa vlera të $\zeta$ që shtrihet ndërmjet 0 dhe $x$ . Për shembull, nëse $x<0$ dhe $\alpha \geq 2$, gabimi është e shumta ${\textstyle {\frac {\alpha (\alpha -1)x^{2}}{2}}}$ . Me shënimin O e vogël, mund të thuhet se gabimi është $o(|x|)$, që do të thotë se ${\textstyle \lim _{x\to 0}{\frac {\textrm {error}}{|x|}}=0}$ .

Duke përdorur seritë e Tejlorit

Funksioni

$f(x)=(1+x)^{\alpha }$

ku $x$ dhe $\alpha$ mund të jetë reale ose komplekse mund të shprehet si një seri Taylor rreth pikës zero.

${\begin{aligned}f(x)&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}x^{n}\\f(x)&=f(0)+f'(0)x+{\frac {1}{2}}f''(0)x^{2}+{\frac {1}{6}}f'''(0)x^{3}+{\frac {1}{24}}f^{(4)}(0)x^{4}+\cdots \\(1+x)^{\alpha }&=1+\alpha x+{\frac {1}{2}}\alpha (\alpha -1)x^{2}+{\frac {1}{6}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)x^{3}+{\frac {1}{24}}\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)(\alpha -3)x^{4}+\cdots \end{aligned}}$

Nëse $|x|<1$ dhe $|\alpha x|\ll 1$, atëherë termat në seri bëhen gradualisht më të vogla dhe mund të shkurtohet në

$(1+x)^{\alpha }\approx 1+\alpha x.$

Shembull

Përafrimi binomial për rrënjën katrore, ${\sqrt {1+x}}\approx 1+x/2$, mund të zbatohet për shprehjen e mëposhtme,

${\frac {1}{\sqrt {a+b}}}-{\frac {1}{\sqrt {a-b}}}$

ku $a$ dhe $b$ janë reale dhe $a\gg b$ .

Forma matematikore për përafrimin binomial mund të rikuperohet duke faktorizuar termin e madh $a$ dhe duke kujtuar se një rrënjë katrore është e njëjtë me fuqinë e 1/2.

${\begin{aligned}{\frac {1}{\sqrt {a+b}}}-{\frac {1}{\sqrt {a-b}}}&={\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(\left(1+{\frac {b}{a}}\right)^{-1/2}-\left(1-{\frac {b}{a}}\right)^{-1/2}\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(\left(1+\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {b}{a}}\right)-\left(1-\left(-{\frac {1}{2}}\right){\frac {b}{a}}\right)\right)\\&\approx {\frac {1}{\sqrt {a}}}\left(1-{\frac {b}{2a}}-1-{\frac {b}{2a}}\right)\\&\approx -{\frac {b}{a{\sqrt {a}}}}\end{aligned}}$

Me sa duket shprehja është lineare në $b$ kur $a\gg b$ gjë që përndryshe nuk është e dukshme nga shprehja origjinale.