Numrat kompleksë

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Numri kompleks është përgjithësim i numrit real me ndihmën e një numri special i cili shënohet me i dhe quhet njësi imagjinare i cili sipas përkufizimit e plotëson kushtin

i^2=-1.\,

Numrat kompleks në fillim u zbuluan nga matematikani italian Girolamo Cardano, gjatë përpjekjeve të tij për gjetjen e zgjidhjeve të Ekuacionit të shkallës së tretë. Rregullat për shumën, ndryshimin, shumëzimin dhe pjestimin e numrave kompleks u dhanë nga mattematikani italian Rafael Bombelli. Një formalizëm më apstrakt për numrat kompleks më vonë ndërtoi matematikani irlandez William Rowan Hamilton, i cili konceptin e numrit kompleks e zgjëroi edhe më tej dhe në matematikë futi konceptin e kuaternioneve.

Përkufizimi[redakto | redakto tekstin burimor]

Bashkësia e numrave kompleks shënohet me C, ndërsa numri kompleks në trajtën

 a + bi \,

ku a\, dhe b janë numra real dhe i\, njësia imagjinare e cila e plotëson vetinë :i^2=-1.\,. Numri real a është pjesa reale dhe b është pjesa imagjinare.

P.sh. për numrin kompleks 3 + 2i numri 3 është pjesa reale dhe 2 është pjesa imagjinare. Nëse z=a+bi, atëherë zakonisht shënojmë a = Re(z) dhe b = Im(z)

Bashkësia e numrave real R mund të kuptohet si nënbashkësi e bashkësisë së numrave kompleks C sepse ç'do numër real mund të shkruhet si numër kompleks i cili pjesën imagjinare e ka të barabartë me 0.

Përkufizimi formal[redakto | redakto tekstin burimor]

Është e papranueshme rigorozisht që thjesht të supozojmë se ekziston një lloj numri katrori i të cilit është i barabartë me -1. Përkufizimi i tillë është intuitiv ne më poshtë do të japim përkufizimin formal apo aksiomatik. Themi se bashkësia e numrave kompleks është bashkësi e dysheve të renditura të numrave real e cila në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin e këtyre dysheve të renditura i plotëson kushtet

(ab) + (cd) = (a + cb + d)
(ab)·(cd) = (a·c − b·db·c + a·d)

Pasi sipas përkufizimit të shumëzimit vlen se (0, 1)·(0, 1) = (−1, 0), ne e gjejmë i në mënyrë konstruktive duke ia shoqëruar atij dyshen e renditur (0, 1). Numrit real a ia shoqërojmë dyshen (a, 0) dhe numrit real b ia shoqërojmë dyshen e renditur (0b) prandaj në përgjithësi kemi

(ab) =(a0)+(0b)= a + ib.

Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks[redakto | redakto tekstin burimor]

Paraqitja gjeometrike e z dhe të konjuguarit të tij \bar{z} në rrafshin kompleks.

Sipas përkufizimit të numrit kompleks si dyshe e renditur konkludojmë se numri kompleks mund të shikohet si pikë në rrafsh koordinativ këndrejt të cilin e quajmë rrafsh kompleks. Koordinatat e numrit janë x = Re(z) dhe y = Im(z)

Vlera absolute ose moduli i numrit kompleks[redakto | redakto tekstin burimor]

Vlerë absolute ose modul i numrit kompleks z=x+yi, është |z|=\sqrt{x^2+y^2}.

Vetitë kryesore janë:

 | z | \geq 0, \, ku  | z | = 0 \, , poqese  z = 0 \,
 | z + w | \leq | z | + | w | \, (Jobarazimi i trekëndëshit)
 | z \cdot w | = | z | \cdot | w | \,

Konjugacioni[redakto | redakto tekstin burimor]

I konjuguar i numrit kompleks z=x+yi është numri x-yi, shënojmë \bar{z}. Sipas figurës, \bar{z} është simetrik me z ndaj boshtit x

Disa nga vetitë e konjugacionit:

\overline{z+w} = \bar{z} + \bar{w}
\overline{z\cdot w} = \bar{z}\cdot\bar{w}
\overline{(z/w)} = \bar{z}/\bar{w}
\bar{\bar{z}}=z
\operatorname{Re}\,(z) = \tfrac{1}{2}(z+\bar{z})
\operatorname{Im}\,(z) = \tfrac{1}{2i}(z-\bar{z})
|z|=|\bar{z}|
|z|^2 = z\cdot\bar{z}
z^{-1} = \frac{\bar{z}}{|z|^{2}}   ku z është i ndryshëm nga 0

Forma polare e numrit kompleks[redakto | redakto tekstin burimor]

Figura 2: Argumenti φ dhe moduli r e përcaktojnë pozitën e pikës në një diagram të Arg dhe; r(\cos \phi + i \sin \phi) ose r e^{i\phi} janë format polare për paraqitjen e pikës gjegjësisht numrit kompleks.

Diagrami nga figura djathtas sugjeron veti të ndryshme.

  • Së pari distanca e pikës z nga origjina (i shënuar me r në figurën 2) njihet si vlerë absolute ose modul dhe shënohet me |z|. Nga Teorema e Pitagorës,
|x+iy|=\sqrt{x^2+y^2}.

Në përgjithësi largësia mes numrave kompleks jepet me d(z,w)=|z-w|, e cila e kthen bashkësinë e numrave kompleks në hapësirë metrike dhe këtu mund të fusim konceptin e limitit dhe të vazhdueshmërisë së funksioneve. Të gjitha vetitë standarde të hapësirës dydimensionale plotësohen për rrafshin kompleks duke përfshirë atë se moduli i numrit kompleks është jonegativ dhe plotësimin e jobarazimit të trkëndëshit (| z + w | \leq | z | + | w | for all z, w).

  • Së dyti argumenti i numrit kompleks z=x+yi është këndi φ i dhënë në figurën 2, shënohet si \arg(z). Si edhe me modulin argumenti mund të gjindet nga x+iy:
\varphi = \pm\arctan\frac{y}{x} pra x+iy=\cos \phi + i \sin \phi ).

Vlera e φ ndryshon për një shumfish të 2π dhe përsëri jep këndin e njejtë.

Së bashku këto spjegime japin një mënyrë të re për paraqitjen e numrit kompleks në formën polare, si kombinim i vlerës së modulit këndit që ai formon me boshtin x (x,y)=(r \cos\varphi,r\sin\varphi) from the polar pair (r,φ)). Këto fakte mund të shënohen në mënyra të ndryshme si p.sh

 z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\,

forma trigonometrike, dhe sipas Formulës së Eulerit

 z = r e^{i \varphi},

e cila quhet forma eksponenciale.

Operacionet në formën polare[redakto | redakto tekstin burimor]

Operacionet si Shumëzimi, pjestimi fuqizimi dhe rrënjëzimi kur një numër kompleks është shënuar në formën polare janë mjaft të thjeshta:

  • Shumëzimi
(r_1e^{i\varphi_1}) \cdot (r_2e^{i\varphi_2}) = (r_1r_2)e^{i(\varphi_1 + \varphi_2)}
  • Pjestimi
\frac{(r_1\,e^{i\varphi_1})}{(r_2\,e^{i\varphi_2})} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)\,e^{i (\varphi_1 - \varphi_2)}.
  • Fuqizimi

Fuqizimi i numrit kompleks me një eksponent numër të plotë n bëhet sipas formulës:

 (r(\cos\varphi + i\sin\varphi))^n = r^n\,(\cos n\varphi + i \sin n \varphi) .........Formula e De Moivreit

  • Rrënjëzimi

Rrënjëzimi i numrit kompleks në formën polare gjithashtu është mjaft i thjeshtë. Ç'do numër kompleks z i cili e plotëson barazimin zn = c (për n numër i plotë pozitiv) quhet rrënja e ntë e numrit kompleks c. Nëse c nuk është i barabartë me 0, atëherë ekzistojnë gjithsejt n rrënjë të nta të numrit c. Le të jetë c = re  dhe r>0; atëherë bashkësia e rrënjëve të nta të c është:

 \left\{ \sqrt[n]r\,e^{i\left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)} \mid k\in\{0,1,\ldots,n-1\} \, \right\},

këtu \sqrt[n]{r} paraqet rrënjën e ntë numrit real r. Nëse c = 0, atëherë e vetmja rrënjë e ntë e c është vetë 0. Vërejmë se rrënjët ndryshojnë vetëm për një rrotullim për një kënd prej e^{2k\pi i/n}, rrënjët e nta të njëshit pra të gjitha rrënjët e c i takojnë një rreti me qendër në origjinën e sistemit koordinativ.

Lidhje të jashtme[redakto | redakto tekstin burimor]