Diskutim:Numrat kompleksë

ps... behet fjal per methoden gjermane te numrit kompleks e cila gjen zbatim te gjere ne fushen e inxhinierise mekanike ,automobilizmit,ndertimit dhe shum deg te tjera . --Erion s 15 Janar 2008 17:53 (UTC)

Unë kam ndërmend që këtë artikull ta rishkruaj komplet veç e kam filluar me titullin më të përshtatshëm Numri kompleks arsyeja është se ky artikull është shumë i pakuptueshëm dhe simbolet janë joadekuate--Armend 2 Mars 2009 21:19 (CET)

p.s

Në fillim u përpoqa ta përmirësoj por hoqa dorë ky artikull duhet rishkruar--Armend 2 Mars 2009 21:23 (CET)

Ky artikull duhet të fshihet tërësisht sepse ekziston artikulli Numri kompleks është i pakuptueshëm dhe ka mjaft gabime, i lus administratorët që ta fshijnë.--Armend 7 Tetor 2009 19:00 (CEST)

numrat konpleks

Numrat kompleksë Numri kompleks është përgjithësim i numrit real me ndihmën e një numri special i cili shënohet me i dhe quhet njësi imagjinare i cili sipas përkufizimit e plotëson kushtin

Numrat kompleks në fillim u zbuluan nga matematikani italian Girolamo Cardano, gjatë përpjekjeve të tij për gjetjen e zgjidhjeve të Ekuacionit të shkallës së tretë. Rregullat për shumën, ndryshimin, shumëzimin dhe pjestimin e numrave kompleks u dhanë nga mattematikani italian Rafael Bombelli. Një formalizëm më apstrakt për numrat kompleks më vonë ndërtoi matematikani irlandez William Rowan Hamilton, i cili konceptin e numrit kompleks e zgjëroi edhe më tej dhe në matematikë futi konceptin e kuaternioneve. Përmbajtja [fshih] 1 Përkufizimi 2 Përkufizimi formal 3 Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks 3.1 Vlera absolute ose moduli i numrit kompleks 3.2 Konjugacioni 3.3 Forma polare e numrit kompleks 3.3.1 Operacionet në formën polare 4 Lidhje të jashtme [redakto]Përkufizimi

Bashkësia e numrave kompleks shënohet me C, ndërsa numri kompleks në trajtën

ku dhe janë numra real dhe njësia imagjinare e cila e plotëson vetinë :. Numri real është pjesa reale dhe është pjesa imagjinare. P.sh. për numrin kompleks 3 + 2i numri 3 është pjesa reale dhe 2 është pjesa imagjinare. Nëse , atëherë zakonisht shënojmë a = Re(z) dhe b = Im(z) Bashkësia e numrave real R mund të kuptohet si nënbashkësi e bashkësisë së numrave kompleks C sepse ç'do numër real mund të shkruhet si numër kompleks i cili pjesën imagjinare e ka të barabartë me 0. [redakto]Përkufizimi formal

Është e papranueshme rigorozisht që thjesht të supozojmë se ekziston një lloj numri katrori i të cilit është i barabartë me -1. Përkufizimi i tillë është intuitiv ne më poshtë do të japim përkufizimin formal apo aksiomatik. Themi se bashkësia e numrave kompleks është bashkësi e dysheve të renditura të numrave real e cila në lidhje me mbledhjen dhe shumëzimin e këtyre dysheve të renditura i plotëson kushtet (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b)·(c, d) = (a·c − b·d, b·c + a·d) Pasi sipas përkufizimit të shumëzimit vlen se (0, 1)·(0, 1) = (−1, 0), ne e gjejmë i në mënyrë konstruktive duke ia shoqëruar atij dyshen e renditur (0, 1). Numrit real ia shoqërojmë dyshen (a, 0) dhe numrit real ia shoqërojmë dyshen e renditur (0, b) prandaj në përgjithësi kemi (a, b) =(a, 0)+(0, b)= a + ib. [redakto]Paraqitja gjeometrike e numrave kompleks

Paraqitja gjeometrike e dhe të konjuguarit të tij në rrafshin kompleks. Sipas përkufizimit të numrit kompleks si dyshe e renditur konkludojmë se numri kompleks mund të shikohet si pikë në rrafsh koordinativ këndrejt të cilin e quajmë rrafsh kompleks. Koordinatat e numrit janë x = Re(z) dhe y = Im(z) [redakto]Vlera absolute ose moduli i numrit kompleks Vlerë absolute ose modul i numrit kompleks , është Vetitë kryesore janë:

ku  , poqese 
(Jobarazimi i trekëndëshit)

[redakto]Konjugacioni I konjuguar i numrit kompleks është numri , shënojmë . Sipas figurës, është simetrik me z ndaj boshtit Disa nga vetitë e konjugacionit:

  ku z është i ndryshëm nga 0

[redakto]Forma polare e numrit kompleks

Figura 2: Argumenti φ dhe moduli r e përcaktojnë pozitën e pikës në një diagram të Arg dhe; ose janë format polare për paraqitjen e pikës gjegjësisht numrit kompleks. Diagrami nga figura djathtas sugjeron veti të ndryshme. Së pari distanca e pikës z nga origjina (i shënuar me r në figurën 2) njihet si vlerë absolute ose modul dhe shënohet me . Nga Teorema e Pitagorës,

Në përgjithësi largësia mes numrave kompleks jepet me , e cila e kthen bashkësinë e numrave kompleks në hapësirë metrike dhe këtu mund të fusim konceptin e limitit dhe të vazhdueshmërisë së funksioneve. Të gjitha vetitë standarde të hapësirës dydimensionale plotësohen për rrafshin kompleks duke përfshirë atë se moduli i numrit kompleks është jonegativ dhe plotësimin e jobarazimit të trkëndëshit ( for all z, w). Së dyti argumenti i numrit kompleks është këndi φ i dhënë në figurën 2, shënohet si . Si edhe me modulin argumenti mund të gjindet nga :

pra ).

Vlera e φ ndryshon për një shumfish të 2π dhe përsëri jep këndin e njejtë. Së bashku këto spjegime japin një mënyrë të re për paraqitjen e numrit kompleks në formën polare, si kombinim i vlerës së modulit këndit që ai formon me boshtin x from the polar pair (r,φ)). Këto fakte mund të shënohen në mënyra të ndryshme si p.sh

forma trigonometrike, dhe sipas Formulës së Eulerit

e cila quhet forma eksponenciale. [redakto]Operacionet në formën polare Operacionet si Shumëzimi, pjestimi fuqizimi dhe rrënjëzimi kur një numër kompleks është shënuar në formën polare janë mjaft të thjeshta: Shumëzimi

Pjestimi

Fuqizimi Fuqizimi i numrit kompleks me një eksponent numër të plotë n bëhet sipas formulës:

.........Formula e De Moivreit

Rrënjëzimi Rrënjëzimi i numrit kompleks në formën polare gjithashtu është mjaft i thjeshtë. Ç'do numër kompleks z i cili e plotëson barazimin zn = c (për n numër i plotë pozitiv) quhet rrënja e ntë e numrit kompleks c. Nëse c nuk është i barabartë me 0, atëherë ekzistojnë gjithsejt n rrënjë të nta të numrit c. Le të jetë c = re iφ dhe ; atëherë bashkësia e rrënjëve të nta të c është:

këtu paraqet rrënjën e ntë numrit real r. Nëse c = 0, atëherë e vetmja rrënjë e ntë e c është vetë 0. Vërejmë se rrënjët ndryshojnë vetëm për një rrotullim për një kënd prej , rrënjët e nta të njëshit pra të gjitha rrënjët e c i takojnë një rreti me qendër në origjinën e sistemit koordinativ.