Rrezja e konvergjencës

Në matematikë, rrezja e konvergjencës së një serie fuqie është rrezja e diskut më të madh në qendër të serisë në të cilën seria konvergjon . Është ose një numër real jo negativ ose $\infty$ . Kur është pozitive, seria e fuqisë konvergjon absolutisht dhe në mënyrë të njëtrajtshme në grupe kompakte brenda diskut të hapur me rreze të barabartë me rrezen e konvergjencës, dhe është seria Tejlor e funksionit analitik në të cilën konvergjon. Në rastin e singulariteteve të shumta të një funksioni (singularitetet janë ato vlera të argumentit për të cilat funksioni nuk është i përcaktuar), rrezja e konvergjencës është më e shkurtra ose minimale e të gjitha largësive përkatëse (që janë të gjithë numra jonegativë) e llogaritur nga qendra e diskut të konvergjencës me singularitetet përkatëse të funksionit.

Përkufizimi

Për një seri fuqie f të përcaktuar si:

$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n},$

ku

• a është një konstante komplekse, qendra e diskut të konvergjencës,
• c _n është koeficienti kompleks i n -të, dhe
• z është një ndryshore komplekse.

Rrezja e konvergjencës r është një numër real jonegativ ose $\infty$ të tillë që seria konvergjon nëse

$|z-a|<r$

dhe divergjon nëse

$|z-a|>r.$

Disa mund të preferojnë një përkufizim alternativ, pasi ekzistenca është e qartë:

$r=\sup \left\{|z-a|\ \left|\ \sum _{n=0}^{\infty }c_{n}(z-a)^{n}\ {\text{ converges }}\right.\right\}$

Në kufi, pra ku $|z-a|=r$, sjellja e serisë së fuqive mund të jetë e ndërlikuar dhe seria mund të konvergjojë për disa vlera të z dhe të divergjojë për të tjerat. Rrezja e konvergjencës është e pafundme nëse seria konvergjon për të gjithë numrat kompleks z .