Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Në matematikë, transformimi i Laplasit është një transformim i fuqishëm integral i përdorur për të kaluar një funksion nga rrafshi i kohës në rrafshin s . Transformimi i Laplasit mund të përdoret në disa raste për të zgjidhur ekuacionet diferenciale lineare me kushte fillestare të dhëna.
Së pari merrni parasysh vetinë e mëposhtme të transformimit të Laplasit:
Mund të vërtetohet me induksion se
Tani marrim parasysh ED të mëposhtëm:
me kushte fillestare të dhëna
Duke përdorur linearitetin e transformimit të Laplasit është e njëvlershme të rishkruhet ekuacioni si
duke marrë
Zgjidhja e ekuacionit për dhe duke zëvendësuar me jep
Zgjidhja për fitohet duke zbatuar transformimin e anasjelltë të Laplasit në
Vini re se nëse kushtet fillestare janë të gjitha zero, dmth
atëherë formula thjeshtohet duke dhënë
Ne duam të zgjidhim
me kushte fillestare dhe .
Vëmë re se
dhe marrim
Ekuacioni është atëherë i njëvlershëm me
Ne dalim në përfundimin se
Tani ne aplikojmë transformimin e anasjelltë të Laplasit për të marrë