Transformimi integral

Forma e përgjithshme

Një shndërrim integral është çdo shndërrim $T$ i formës së mëposhtme:

(Tf)(u)=\int _{t_{1}}^{t_{2}}f(t)\,K(t,u)\,dt

Hyrja e këtij transformimi është një funksion $f$ , dhe dalja është një funksion tjetër $Tf$ . Një transformim integral është një lloj i veçantë operatori matematikor.

Ka shumë transformime integrale të dobishme. Secili specifikohet nga një zgjedhje e funksionit $K$ të dy variablave, funksioni i bërthamës, bërthama integrale ose bërthama e transformimit. Në anglisht njihet me emrin kernel.

Disa bërtham kanë një bërthamë të anasjelltë (kernel invers) të lidhur $K^{-1}(u,t)$ i cila (përafërsisht) jep një transformim të anasjelltë:

f(t)=\int _{u_{1}}^{u_{2}}(Tf)(u)\,K^{-1}(u,t)\,du

Një bërthamë simetrike është ajo që është e pandryshuar kur të vendet e ndryshoreve ndërrohen; është një funksion kernel $K$ sikurse $K(t,u)=K(u,t)$ . Në teorinë e ekuacioneve integrale, bërthamat simetrike korrespondojnë me operatorët e vetë-bashkuar. ^[1]

Motivimi

Ka shumë klasa problemesh që janë të vështira për t'u zgjidhur - ose të paktën mjaft të koklavitura algjebrikisht - në paraqitjet e tyre origjinale. Një transformim integral "hartëzon" një ekuacion nga "fusha" e tij origjinale në një fushë tjetër, në të cilën manipulimi dhe zgjidhja e ekuacionit mund të jetë shumë më të lehta se sa në domenin origjinal. Zgjidhja më pas mund të rikthehet në fushën origjinale me inversin e transformimit integral.

Ka shumë aplikime të probabilitetit që mbështeten në transformime integrale, të tilla si "kerneli i çmimeve" ose faktori stokastik i zbritjes, ose zbutja e të dhënave të rikuperuara nga statistika të forta; shih kernel (statistika) .

Historia

Pararendësi i transformimeve ishin seritë Furier për të shprehur funksionet në intervale të fundme. Më vonë transformimi Thurje u zhvillua për të hequr kërkesën e intervaleve të fundme.

Duke përdorur serinë Fourier, pothuajse çdo funksion praktik i kohës ( voltazhi në terminalet e një pajisjeje elektronike për shembull) mund të përfaqësohet si një shumë e sinuseve dhe kosinuseve, secili i shkallëzuar në mënyrë të përshtatshme (i shumëzuar me një faktor konstant), i zhvendosur (i përparuar ose i vonuar në kohë) dhe i "shtrydhur" ose i "shtrirë" (duke rritur ose ulur frekuencën). Sinuset dhe kosinuset në serinë Fourier janë një shembull i një baze ortonormale .

Shembull përdorimi

Si shembull i një aplikimi të transformimeve integrale, merrni parasysh transformimin e Laplasit . Kjo është një teknikë që hartëzon ekuacionet diferenciale ose integro-diferenciale në domenin "kohë" në ekuacione polinomiale në atë që quhet domeni i "frekuencës komplekse" . (Frekuenca komplekse është e ngjashme me frekuencën aktuale, fizike, por mjaft më e përgjithshme. Në mënyrë të veçantë, përbërësi imagjinar ω i frekuencës komplekse s = − σ + iω korrespondon me konceptin e zakonshëm të frekuencës ndërsa përbërësi real σ i frekuencës komplekse i korrespondon shkallës së "shuarjes", pra një ulje eksponenciale të amplitudës. ) Ekuacioni i hedhur në termat e frekuencës komplekse zgjidhet lehtësisht në fushën e frekuencës komplekse, duke çuar në një "zgjidhje" të formuluar në fushën e frekuencës. Duke përdorur transformimin e anasjelltë, dmth ., procedurën e anasjelltë të transformimit origjinal të Laplasit, merret zgjidhja në kohë.

Tabela e transformimeve

Tabela e transformimeve integrale
Transformimi	Simbolet	K	f(t)	t₁	t₂	K⁻¹	u₁	u₂
Transformimi	F, f	${\frac {2t}{\sqrt {t^{2}-u^{2}}}}$		$u$	$\infty$	${\frac {-1}{\pi {\sqrt {u^{2}\!-\!t^{2}}}}}{\frac {d}{du}}$	t	$\infty$
Transformimi Shoqërues Lezhendrë	${\mathcal {J}}_{n,m}$	$(1-x^{2})^{-m/2}P_{n}^{m}(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Transformimi Furje	${\mathcal {F}}$	$e^{-2\pi iut}$	$L_{1}$	$-\infty$	$\infty$	$e^{2\pi iut}$	$-\infty$	$\infty$
Transformimi sinusoidal Furje	${\mathcal {F}}_{s}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	në $[0,\infty )$ , vlera reale	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\sin(ut)$	$0$	$\infty$
Transformimi kosinuoidal Furje	${\mathcal {F}}_{c}$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	në $[0,\infty )$ , vlera reale	$0$	$\infty$	${\sqrt {\frac {2}{\pi }}}\cos(ut)$	$0$	$\infty$
Transformimi Hankel		$t\,J_{\nu }(ut)$		$0$	$\infty$	$u\,J_{\nu }(ut)$	$0$	$\infty$
Transformimi Hartlej	${\mathcal {H}}$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {\cos(ut)+\sin(ut)}{\sqrt {2\pi }}}$	$-\infty$	$\infty$
Transformimi Hermit	$H$	$e^{-x^{2}}H_{n}(x)$		$-\infty$	$\infty$		$0$	$\infty$
Transformimi Hilbert	${\mathcal {H}}il$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {1}{\pi }}{\frac {1}{u-t}}$	$-\infty$	$\infty$
Transformimi Jakobi	$J$	$(1-x)^{\alpha }\ (1+x)^{\beta }\ P_{n}^{\alpha ,\beta }(x)$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Transformimi Lagerrë	$L$	$e^{-x}\ x^{\alpha }\ L_{n}^{\alpha }(x)$		$0$	$\infty$		$0$	$\infty$
Laplace Transformimi	${\mathcal {L}}$	$e^{-ut}$		$0$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Transformimi Lezhandrë	${\mathcal {J}}$	$P_{n}(x)\,$		$-1$	$1$		$0$	$\infty$
Transformimi Melin	${\mathcal {M}}$	$t^{u-1}$		$0$	$\infty$	${\frac {t^{-u}}{2\pi i}}\,$ ^[2]	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Transformimi i dyanshëm i Laplasit	${\mathcal {B}}$	$e^{-ut}$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{ut}}{2\pi i}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Bërthama Puason		${\frac {1-r^{2}}{1-2r\cos \theta +r^{2}}}$		$0$	$2\pi$
Transformimi Radon	Rƒ			$-\infty$	$\infty$
Transformimi Vajershtras	${\mathcal {W}}$	${\frac {e^{-{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}}{\sqrt {4\pi }}}\,$		$-\infty$	$\infty$	${\frac {e^{\frac {(u-t)^{2}}{4}}}{i{\sqrt {4\pi }}}}$	$c\!-\!i\infty$	$c\!+\!i\infty$
Transformimi rreze X	Xƒ			$-\infty$	$\infty$

^ Chapter 8.2, Methods of Theoretical Physics Vol. I (Morse & Feshbach)
^ Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.

[1] Chapter 8.2, Methods of Theoretical Physics Vol. I (Morse & Feshbach)

[2] Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.

[1]

[2]