Jump to content

Transformimi integral

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë

Forma e përgjithshme[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Një shndërrim integral është çdo shndërrim i formës së mëposhtme:

Hyrja e këtij transformimi është një funksion , dhe dalja është një funksion tjetër . Një transformim integral është një lloj i veçantë operatori matematikor.

Ka shumë transformime integrale të dobishme. Secili specifikohet nga një zgjedhje e funksionit të dy variablave, funksioni i bërthamës, bërthama integrale ose bërthama e transformimit. Në anglisht njihet me emrin kernel.

Disa bërtham kanë një bërthamë të anasjelltë (kernel invers) të lidhur i cila (përafërsisht) jep një transformim të anasjelltë:

Një bërthamë simetrike është ajo që është e pandryshuar kur të vendet e ndryshoreve ndërrohen; është një funksion kernel sikurse . Në teorinë e ekuacioneve integrale, bërthamat simetrike korrespondojnë me operatorët e vetë-bashkuar. [1]

Motivimi[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Ka shumë klasa problemesh që janë të vështira për t'u zgjidhur - ose të paktën mjaft të koklavitura algjebrikisht - në paraqitjet e tyre origjinale. Një transformim integral "hartëzon" një ekuacion nga "fusha" e tij origjinale në një fushë tjetër, në të cilën manipulimi dhe zgjidhja e ekuacionit mund të jetë shumë më të lehta se sa në domenin origjinal. Zgjidhja më pas mund të rikthehet në fushën origjinale me inversin e transformimit integral.

Ka shumë aplikime të probabilitetit që mbështeten në transformime integrale, të tilla si "kerneli i çmimeve" ose faktori stokastik i zbritjes, ose zbutja e të dhënave të rikuperuara nga statistika të forta; shih kernel (statistika) .

Historia[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Pararendësi i transformimeve ishin seritë Furier për të shprehur funksionet në intervale të fundme. Më vonë transformimi Thurje u zhvillua për të hequr kërkesën e intervaleve të fundme.

Duke përdorur serinë Fourier, pothuajse çdo funksion praktik i kohës ( voltazhi në terminalet e një pajisjeje elektronike për shembull) mund të përfaqësohet si një shumë e sinuseve dhe kosinuseve, secili i shkallëzuar në mënyrë të përshtatshme (i shumëzuar me një faktor konstant), i zhvendosur (i përparuar ose i vonuar në kohë) dhe i "shtrydhur" ose i "shtrirë" (duke rritur ose ulur frekuencën). Sinuset dhe kosinuset në serinë Fourier janë një shembull i një baze ortonormale .

Shembull përdorimi[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Si shembull i një aplikimi të transformimeve integrale, merrni parasysh transformimin e Laplasit . Kjo është një teknikë që hartëzon ekuacionet diferenciale ose integro-diferenciale në domenin "kohë" në ekuacione polinomiale në atë që quhet domeni i "frekuencës komplekse" . (Frekuenca komplekse është e ngjashme me frekuencën aktuale, fizike, por mjaft më e përgjithshme. Në mënyrë të veçantë, përbërësi imagjinar ω i frekuencës komplekse s = − σ + korrespondon me konceptin e zakonshëm të frekuencës ndërsa përbërësi real σ i frekuencës komplekse i korrespondon shkallës së "shuarjes", pra një ulje eksponenciale të amplitudës. ) Ekuacioni i hedhur në termat e frekuencës komplekse zgjidhet lehtësisht në fushën e frekuencës komplekse, duke çuar në një "zgjidhje" të formuluar në fushën e frekuencës. Duke përdorur transformimin e anasjelltë, dmth ., procedurën e anasjelltë të transformimit origjinal të Laplasit, merret zgjidhja në kohë.

Tabela e transformimeve[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Tabela e transformimeve integrale
Transformimi Simbolet K f(t) t1 t2 K−1 u1 u2
Transformimi F, f t
Transformimi Shoqërues Lezhendrë
Transformimi Furje
Transformimi sinusoidal Furje , vlera reale
Transformimi kosinuoidal Furje , vlera reale
Transformimi Hankel
Transformimi Hartlej
Transformimi Hermit
Transformimi Hilbert
Transformimi Jakobi
Transformimi Lagerrë
Laplace Transformimi
Transformimi Lezhandrë
Transformimi Melin [2]
Transformimi i dyanshëm i Laplasit
Bërthama Puason
Transformimi Radon
Transformimi Vajershtras
Transformimi rreze X
  1. ^ Chapter 8.2, Methods of Theoretical Physics Vol. I (Morse & Feshbach)
  2. ^ Some conditions apply, see Mellin inversion theorem for details.