Ekuacione Diferenciale

Ekuacionet ne te cilat bejne pjese derivatet(derivatives) ose differencialet quhen ekuacione diferenciale. Pra ekuacioni i cili permban nje apo me shumë funksione të panjohura, me një apo më shumë ndryshore(variabla) të pavarura dhe së paku një prej derivateve te funksioneve të panjohur, quhet ekuacion diferencial. Nëse ne ekuacionin diferencial variabla e pavarur eshte e vetme, atehere ate e quajme ekuacion diferencial i zakonshem. Ekuacionet diferenciale kane rendesi jashtezakonisht te madhe ne teknike dhe fusha te ndryshme te shkences sepse me ane tyre mund lidhen ne relacion shume madhesi dhe funksione te ndryshme. Fushat ku gjejne zbatim me te madh jane:Inxhinieria(engineering),Fizika(physics),Ekonomia(economics) dhe disiplina tjera.Me studimin e ekuacioneve diferenciale merret matematika e aplikuar(applied mathematics) dhe pergjithsisht Matematika. Kurse disiplinat tjera merren vetem me vetite e ketyre ekuacioneve. Ekuacionet diferenciale luajne rol kyç ne modelimin virtual te proceseve teknike, fizike, biologjike etj. Dega e cila mirret me studimin e stabilitetit te ekuacioneve diferenciale njihet si teoria e stabilitetit. Per me teper lexo stability theory.

Hyrje

Rendi i ekuacionit diferencial merret rendi i derivatit me te larte ne ekuacion. Keshtu qe mund te themi se ka ekuacione te rendit te pare, te rendit te dyte, te rendit te trete e deri te ekuacionet e rendit n. Trajta implicite e ekuacionit te rendit n jepet me ekuacionin :

$F\left(x,y,y',\cdots y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

Zgjidhje e pergjithshme ose integral i pergjithshem i ekuacionit diferencial te rendit n quhet zgjidhja e cila permban n konstanta te pavarura te cfaredoshme. Zgjidhje partikulare quhet cdo zgjidhje e cila mund te merret nga zgjidhja e pergjithshme kur konstantave u japim vlera te caktuara. Zgjidhja singulare fitohet kur nuk mund te merret nga zgjidhja e pergjithshme per vlera te caktuara te konstantave te cfaredoshme. Qe te caktohet nje zgjidhje partikulare e ekuacionit diferencial jepen konditat e ashtuquajtura fillestare.

Shembuj te ekuacioneve diferenciale

Ne kete rast te shembujve, le te jete u e panjohur ne funksion te x, dhe c dhe ω konstante te panjohura.

• Ekuacion johomogjen i zakonshem i rendit te pare me koeficient konstant :

${\frac {du}{dx}}=cu+x^{2}.$

• Ekuacion homogjen linear i rendit te dyte  :

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}-x{\frac {du}{dx}}+u=0.$

• Ekuacion johomogjen i rendit te pare :

${\frac {du}{dx}}=u^{2}+1.$

Aplikimet e ekuacioneve diferenciale

Shume ligje te njohura nga fizika dhe kimia mund te formulohen me anen e ekuacioneve diferenciale. Ne biologji dhe ekonomi me anen e ekuacioneve diferenciale mund te shqyrtohet kompleksiteti i sistemeve te ndryshme.

Softuer kompjuterik

• ExpressionsinBar
• Maple: dsolve
• SageMath
• Xcas: desolve(y'=k*y,y)

Ekuacionet Diferenciale Me Te Njohura

Fizike dhe Inxhinieri

• Newton's Second Law ne dynamics (mechanics)
• Euler–Lagrange equation ne mekaniken klasike
• Hamilton's equations ne mekaniken klasike
• Radioactive decay ne nuclear physics
• Newton's law of cooling ne thermodynamics
• Ekuacioni i vales wave equation
• Maxwell's equations ne electromagnetism
• Ekuacioni i nxehtesise heat equation ne thermodynamics
• Laplace's equation, definon harmonic function
• Poisson's equation
• Einstein's field equation ne general relativity
• The Schrödinger equation ne quantum mechanics
• The geodesic equation
• The Navier–Stokes equations ne fluid dynamics
• The Diffusion equation ne stochastic processes

Biologji

• Verhulst equation – rritja biologjike e populacionit
• von Bertalanffy model – rritja biologjike e populacionit
• Lotka–Volterra equations – dinamika e populacioni dinamik
• Replicator dynamics – e gjetur ne biologjine teorike
• Hodgkin–Huxley model – potencialet neurale

Ekonomi

• The Black–Scholes PDE
• Exogenous growth model
• Malthusian growth model
• The Vidale–Wolfe advertising model

Referime

• Matematika 2 - Hajdar Peci(Fakulteti i Inxhinierise Elektrike dhe Kompjuterike)
• Matematika 3(Ejup Hamiti dhe Shqipe Lohaj) - Permbledhje Detyrash(Fakulteti i Inxhinieris Elektrike dhe Kompjuterike)