Ekuacioni diferencial i Bernulit

Në matematikë, një ekuacion diferencial i zakonshëm quhet ekuacion diferencial i Bernulit nëse është i trajtës

$y'+P(x)y=Q(x)y^{n},$

ku $n$ është një numër real. Ekuacioni u diskutua për herë të parë në një vepër të vitit 1695 nga Jakob Bernuli, pas të cilit është emërtuar. Zgjidhja më e hershme, megjithatë, u ofrua nga Gotfrid Lajbnic, i cili publikoi rezultatin e tij në të njëjtin vit dhe metoda e të cilit është ajo që përdoret ende sot.

Ekuacionet e Bernulit janë speciale pasi janë ekuacione diferenciale jolineare me zgjidhje të njohura të sakta. Një rast i veçantë i dukshëm i ekuacionit të Bernulit është ekuacioni diferencial logjistik .

Shndërrimi në një ekuacion diferencial linear

Kur $n=0$, ekuacioni diferencial është linear . Kur $n=1$, është ekuacioni është i ndashëm. Në këto raste mund të zbatohen teknika standarde për zgjidhjen e ekuacioneve të atyre formave. Për $n\neq 0$ dhe $n\neq 1$, zevendesimi $u=y^{1-n}$ redukton çdo ekuacion të Bernulit në një ekuacion diferencial linear

${\frac {du}{dx}}-(n-1)P(x)u=-(n-1)Q(x).$

Për shembull, në rastin $n=2$, duke bërë zëvendësimin $u=y^{-1}$ në ekuacionin diferencial ${\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}$ merret ekuacioni ${\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x$, i cili është një ED linear.

Zgjidhja

Le të jetë $x_{0}\in (a,b)$ dhe

$\left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.$

të jetë një zgjidhje e ekuacionit diferencial linear

$z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).$

Atëherë kemi: $y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}$ është një zgjidhje e ekuacionit

$y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x_{0})=y_{0}:=[z(x_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.$

Dhe për çdo ekuacion të tillë diferencial, për të gjithë $\alpha >0$ ne kemi $y\equiv 0$ si zgjidhje për $y_{0}=0$ .

Shembull

Konsideroni ekuacionin e Bernulit

$y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}$

Funksioni i vazhdueshëm $y=0$ është një zgjidhje. Pjesëtimi me $y^{2}$ jep

$y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}$

Ndryshimi i ndryshoreve sjell ekuacionet

${\begin{aligned}u={\frac {1}{y}}\;&,~u'={\frac {-y'}{y^{2}}}\\-u'-{\frac {2}{x}}u&=-x^{2}\\u'+{\frac {2}{x}}u&=x^{2}\end{aligned}}$

të cilat mund të zgjidhen duke përdorur faktorin integrues

$M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.$

Duke shumëzuar me $M(x)$,

$u'x^{2}+2xu=x^{4}.$

Ana e majtë mund të përfaqësohet si derivat i $ux^{2}$ duke shbërë rregullin e produktit . Zbatimi i rregullit të zinxhirit dhe integrimi i të dyja palëve në lidhje me $x$ rezulton në ekuacione

${\begin{aligned}\int \left(ux^{2}\right)'dx&=\int x^{4}\,dx\\ux^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\\{\frac {1}{y}}x^{2}&={\frac {1}{5}}x^{5}+C\end{aligned}}$

Zgjidhja për $y$ është

$y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}.$

Referime

• Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!). Cited in Hairer, Nørsett & Wanner (1993).
• Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0 {{citation}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!).