Ekuacione Diferenciale Separabile

Zgjidhja e ekuacionit diferencial në rastin e përgjithshëm do të thotë të gjenden të gjitha zgjidhjet e tij. Por kjo arrihet vetë në raste të veçanta.

Për ekuacionin diferencial themi se është integruar me anë të kuadrateve në qoftë se zgjidhja e tij e përgjithshme është marrë në formë implicite ose eksplicite e që mund të përmbaj edhe integral të funksioneve të njohura. Në shumicën e rasteve ekuacioni diferencial nuk mund të integrohet me anë të kuadraturave edhe pse dihet se zgjidhjet e tij ekzistojnë. Në raste të tilla zbatohen metodat e përafërta të cilat në shkencat aplikative dhanë rezultate të kënaqshme

Hyrje

Supozojmë dy ekuacione ƒ dhe g të vazhdueshme në lidhje me x dhe y. Atëherë ekuacioni diferencial i rendit të parë do të jetë

{\frac {dy}{dx}}={f(y)}{g(x)}.

Ekuacioni më lartë mundë të shkruhet në formën

g(y)dy=f(x)dx.

Ekuacioni më lartë e quajmë ekuacion me variabla të ndara ose ose shkurt ekuacione seperabile

Duke integruar të dy anët e ekuacionit marrim ekuacionin

\int g(y)dy=\int f(x)dx+C.

Në bazë të supozimit për funksionet f dhe g rrjedh se integralet egzistojn dhe duke zgjidhur integralet marrim zgjidhjet e ekuaciomit të parë

Shembuj të ekuacioneve seperabile

1. Të gjendet zgjidhja e pergjithshme e ekuacionit $(x+1)dy-xy^{2}dx=0.$

{\frac {dy}{y^{2}}}={\frac {xdx}{x+1}}.

prej nga

-{\frac {1}{y}}=x-ln{|x+1|}+C

d.m.th

y={\frac {1}{-x+ln{|x+1|}-C}}

2. Ekuacioni i gazit ideal

PV=nRT

P-shtypja.

V-Vëllimi.

n-Numri i Molekulave.

R-Konstantja universale e gazit.

T- Temperatura.

Duke përdorur ekuacionet diferenciale seperabile gjejm P(t)

{\frac {dV}{dt}}={\frac {-nRT}{P^{2}}}{\frac {dP}{dt}}

Në kohën t=0 shtypja do të jetë P=3

{\frac {dV}{dt}}=t^{3}

Atëhere P(t) do të jetë.

-t^{3}={\frac {-nRT}{P^{2}}}{\frac {dP}{dt}}

dhe

P(0)=3

-t^{3}dt=-nRT{\frac {dP}{dt}}

\int _{0}^{t_{f}}t^{3}\,dt=nRT\int _{3}^{P(t_{f})}{\frac {dP}{dt}}

{\frac {t^{4}}{4}}{\bigg |}_{0}^{t_{f}}=nRT{\bigg (}-{\frac {1}{P}}{\Bigg |}_{3}^{P(t_{f})}{\bigg )}

{\frac {t_{f}^{4}}{4}}=nRT{\bigg (}-{\frac {1}{P(t_{f})}}+{\frac {1}{3}}{\bigg )}

Duke zëvendësuar $t_{f}=t$ fitojm

P(t)={\frac {1}{{\frac {1}{3}}+{\frac {t^{4}}{4nRT}}}}

Perdorimi i ekuacioneve seperabile

Perdorimi i ekuacioneve diferenciale seperabile është i shumtë.

Referime

Matematika 2 - Hajdar Peci(Fakulteti i Inxhinierise Elektrike dhe Kompjuterike)
Matematika 3(Ejup Hamiti dhe Shqipe Lohaj) - Permbledhje Detyrash(Fakulteti i Inxhinieris Elektrike dhe Kompjuterike)