Ekuacioni diferencial i zakonshëm

Trajektorja e një predhe të lëshuar nga një top ndjek një kurbë të përcaktuar nga një ekuacion diferencial i zakonshëm që rrjedh nga ligji i dytë i Njutonit.

Në matematikë, një ekuacion diferencial i zakonshëm ( EDZ ) është një ekuacion diferencial (ED) i varur vetëm nga një ndryshore e vetme e pavarur. Ashtu si me ED e tjera, të panjohurat e tij përbëhen nga një (ose më shumë) funksion(e) dhe përfshijnë derivatet e atyre funksioneve. Termi "i zakonshëm" përdoret në kontrast me ekuacionet diferenciale të pjesshme (EDP) të cilat mund të jenë në lidhje me më shumë se një ndryshore të pavarur, dhe, më rrallë, në kontrast me ekuacionet diferenciale stokastike (EDS) ku përparimi është i rastësishëm. .

Ekuacionet diferenciale

Një ekuacion diferencial linear është një ekuacion diferencial që përcaktohet nga një polinom linear në funksionin e panjohur dhe derivatet e tij, që është një ekuacion i formës

$a_{0}(x)y+a_{1}(x)y'+a_{2}(x)y''+\cdots +a_{n}(x)y^{(n)}+b(x)=0,$

ku $a_{0}(x)$, $a_{n}(x)$ dhe $b(x)$ janë funksione arbitrate të diferencueshme që nuk duhet të jenë lineare dhe Nuk e kuptoj (MathML: Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/sq.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle y', \ldots, y^{(n)} }janë derivatet pasuesi të funksionit të panjohur y dhe ndryshores x.

Ndër ekuacionet diferenciale të zakonshme, ekuacionet diferenciale lineare luajnë një rol të spikatur për disa arsye. Shumica e funksioneve elementare dhe të veçanta që hasen në fizikë dhe matematikë të zbatuar janë zgjidhje të ekuacioneve diferenciale lineare (shih funksionin holonomik ). Kur dukuritë fizike modelohen me ekuacione jolineare, ato përgjithësisht përafrohen me ekuacione diferenciale lineare për një zgjidhje më të lehtë. Disa EDZ jo-lineare që mund të zgjidhen në mënyrë eksplicite në përgjithësi zgjidhen duke e transformuar ekuacionin në një EDZ të njëvlershme lineare (shih, për shembull ekuacionin Riccati ).

Sfondi

Ekuacionet diferenciale të zakonshme (EDZ) lindin në shumë kontekste të matematikës dhe shkencave shoqërore dhe natyrore. Përshkrimet matematikore të ndryshimit përdorin diferenciale dhe derivate. Diferenciale, derivate dhe funksione të ndryshme lidhen nëpërmjet ekuacioneve, të tilla që një ekuacion diferencial është një rezultat që përshkruan dukuritë në ndyshim dinamik, evolucionin dhe variacionin. Shpesh, madhësitë përcaktohen si shpejtësia e ndryshimit të sasive të tjera (për shembull, derivatet e zhvendosjes në lidhje me kohën), ose gradientët e sasive, që është mënyra se si ato hyjnë në ekuacione diferenciale.

Fushat specifike matematikore përfshijnë gjeometrinë dhe mekanikën analitike . Fushat shkencore përfshijnë një pjesë të madhe të fizikës dhe astronomisë (mekanika qiellore), meteorologji (modelimi i motit), kimia (shkalla e reagimit), biologjia (sëmundjet infektive, variacioni gjenetik), ekologjia dhe modelimi i popullsisë (konkurrenca e popullsisë), ekonomia (trendet e aksioneve, normat e interesit dhe ndryshimet e çmimeve të ekuilibrit të tregut).

Një shembull i thjeshtë është ligji i dytë i lëvizjes i Njutonit — marrëdhënia midis zhvendosjes x dhe kohës t të një objekti nën forcën F, jepet nga ekuacioni diferencial

$m{\frac {\mathrm {d} ^{2}x(t)}{\mathrm {d} t^{2}}}=F(x(t))\,$

i cili kufizon lëvizjen e një grimce me masë konstante m . Në përgjithësi, F është një funksion i pozicionit x ( t ) të grimcës në kohën t . Funksioni i panjohur x ( t ) shfaqet në të dy anët e ekuacionit diferencial dhe tregohet në shënimin F ( x ( t )).

Përkufizimet

Përkufizim i përgjithshëm

Jepet F, një funksion i x, y, dhe derivatet e y . Pastaj një ekuacion i formës

$F\left(x,y,y',\ldots ,y^{(n-1)}\right)=y^{(n)}$

quhet një ekuacion i zakonshëm diferencial i eksplicit i rendit n .

Në përgjithësi, një ekuacion i zakonshëm diferencial i nënkuptuar i rendit n merr formën:

$F\left(x,y,y',y'',\ \ldots ,\ y^{(n)}\right)=0$