Transformimet e Laplasit

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Shko te: navigacion, kërko

Transformimet e Laplasit[redakto | redakto tekstin burimor]

Transformimi I Laplasit për sinjalin x(t) përkufizohet si :

 X(S) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-st}\, dt

Ku variableli s është madhësi komplekse s=σ+jω=Re[s]+jIm[s] Zbatim më të madh praktik ka transformimi njëanësore i Laplasit , ku merr parasysh vetem pjesën shkakesore të sinjalit x(t)

 X(s)=\int_0^\infty  x(t)e^{-st}\, dt

Vetit e transformimit të Laplasit[redakto | redakto tekstin burimor]

  • Lineariteti

Shumës së peshuar(kombinimit linear) të hyrjeve I përgjigjet kombinimi linear i transformimeve përkatëse me pesha të njëjta.

~x_1(t) \leftrightarrow X_1(s) dhe ~x_2(t) \leftrightarrow X_2(s)
ax_1(t)+ bx_2(t)\leftrightarrow aX_1(s) + bX_2(s)

.Zona e konvergjencës së X(s) formohet nga bashkësia vlerave të s për të cilat bashkërisht konvergjojnë X₁(s) dhe X₂(s)

  • Zhvendosja në kohë:

Sinjali i zhvendosur për tο çiftohet me transformimin

~x(t-t_0) \leftrightarrow e^{-st_0} X(s)\

.Vetia vlen pa kufizim vetëm për transformimin dyanësor, pra si për vlera pozitive ashtu edhe për vlera negative të zhvendosjes tο.Te transformimi njëanësor i . .Laplasit vetia vlen vetëm për vlera pozitive të t0, pra për tο<0 vetia nuk vlen.

  • Zhvendosja në domenin s

Nëse ~x(t) \leftrightarrow X(s) atëherë vlen

~e^{s_0t} x(t) \leftrightarrow X(s-s_0)

Zona e konvergjencës së  X(s-s_0) \ zhvendoset për Re[sₒ] ndaj asaj të X(s).

  • Shkallëzimi në kohë

Nëse ~x(t) \leftrightarrow X(s) dhe a ka vlerë reale atëherë vlen: ~x(at)\leftrightarrow \frac{1}{|a|} F \left ( {s \over a} \right ) Zona e konvergjencës gjithashtu shkallëzohet R₁=aR

  • Vetia e thurjes në kohë

Nëse ~x_1(t)\leftrightarrow X_1(s) dhe ~x_2(t) \leftrightarrow X_2 (s), me zona të konvergjencës R_1, përkatësisht R_2, atëherë:

~x_1(t)*x_2(t)\leftrightarrow X_1(s)X_2(s)
  • Vetia e diferencimit në kohë

Në qoftë se X(s) është transformimi njëanësor i x(t), atëherë për derivatin e x(t) vlen:

~{dx(t)\over dt}\leftrightarrow sX(s)-x(0)

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë me atë të X(s), pos në rastin kur X(s) ka pol në s=0, me ç’rast ky pol anulohet dhe për rrjedhojë zona e konvergjencës ndryshon. Transformim dyanësor i rendit arbitrar të derivatit të x(t) merr trajtën:

~{d^m x(t)\over dt^m} \leftrightarrow s^m X(s)
  • Diferencimi në domenin s
~-tx(t)\leftrightarrow {dX(s)\over ds}

Zona e konvergjencës mbetet e njëjtë. Në rastin e përgjithshëm, për derivatin e n-të, vlen:

~(-1)^m t^m x(t) \leftrightarrow {d^m X(s)\over ds^m}
  • Integrimi në domenin kohor:
~\int_{-\infty}^t  x(\lambda)\,d\lambda \leftrightarrow  \frac{X(s)}{s} \
  • Terorema për vlerën fillestare:

Vlera fillestare e sinjalit shkakësor  x(0) mund të përcaktohet nga X(s) përmes relacionit:

x(0)=\lim_{s=\infty}{sX(s)} \
  • Teorema për pikën fundore:

Vlera fundore e sinjalit shkakësor x(t) mund të përcaktohet nga relacioni:

x(\infty)=\lim_{s=0}{sX(s)} \

Tabela e disa funksioneve bazike[redakto | redakto tekstin burimor]

Sinjali në domenin kohor Sinjali në domenin s Zona e konvergjencës
 x(t)  X(S) \ ROC
 u(t)  \frac{1}{s}\  Re(s)>0 \
 -u(-t)  \frac{1}{s}\  Re(s) \
 tu(t)  \frac{1}{s^2}\  Re(s)>0 \
 t^k u(t)  \frac{k!}{s^{k+1}}\  Re(s)>0 \
  e^{-at} u(t)  \frac{1}{s+a}\  Re(s)>-Re(a) \
 -e^{-at} u(t)  \frac{1}{s+a}\  Re(s)<-Re(a) \
 te^{-at} u(t)  \frac{1}{{s+a}^2}\  Re(s)>-Re(a) \
 -te^{-at} u(t)  \frac{1}{{s+a}^2}\  Re(s)<-Re(a) \
 cosw_otu(t)  \frac{s}{s^2+{w_o}^2}\ Re(s)>0 \
 sinw_otu(t)  \frac{w}{s^2+{w_o}^2}\  Re(s)>0 \
 e^{-at} cosw_otu(t)  \frac{s+a}{{(s+a)}^2+{w_o}^2}\  Re(s)>-Re(a) \
 e^{-at} sinw_otu(t)  \frac{w}{{(s+a)}^2+{w_o}^2}\  Re(s)>-Re(a)\

Transformimi i kundërt i Laplasit[redakto | redakto tekstin burimor]

Bazë për përcaktimin e shprehjes për transformim të kundërt të Laplasit , mund të shërbejnë shprehjet e cifteve transfomuese Furie.

  • Sipas interpretimit më të drejtpërdrejt , transformimi Furie X(\omega) paraqet vlerat e transformimit të Laplasit ,X(s) , nëpër boshtin imagjinar  j\omega
X(s)=X(\sigma + j \omega)= \int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{- \sigma t} e^{-j \omega t}= \int_{-\infty}^{\infty}  [x(t)e^{- \sigma t} ] e^{-j \omega t}\,dt= F[x(t)e^{- \sigma t}]
  • Transformimi i Laplasit i sinjalit x(t) mund të interpretohet edhe si transformim Furie i sinjalit  x(t)e^{- \sigma t}.

Me këtë shmanget problemi i përfshirjes së boshtit imagjinar në zonën e konvergjencës.

x(t)e^{ \sigma t}= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X( \sigma + j \omega )e^{j \omega t}\,d \omega

ose

x(t)= \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X( \sigma + j \omega )e^{( \sigma + j \omega )t}\,d \omega

Referencat[redakto | redakto tekstin burimor]

  • [1]
  • Hwei P. Hsu, 1995, McGraw-Hill. “Schaum's Outline of Theory and Problems of Signals and Systems”
  • E. Kamen and B. Heck; 3rd ed., 2006, Prentice Hall.“Signals and Systems”
  • Alan V. Oppenheim, 2nd ed., Ligj. 1 1 1996, Prentice Hall. “Fundamentals of Signals and Systems-Using Matlab”
  • “Sinjalet dhe Sistemet” Ilir Limani – Ligjërata të Autorizuara