Devijimi standard

Grafiku i dendësisë së probabilitetit të shpërndarjes normale. Segmentet e marra janë me devijim standard të barabartë.

Në teorinë e probabilitetit dhe statistikës, devijimi standard është masa e variacionit ose shpërhapjes së të dhënave, apo shpërndarjes së probabilitetit. Devijimi standart i ulët do të thotë se pikat e të dhënave janë të grupuara shumë afër të njëjtës vlerë (mesatare), ndërsa devijimi standard i lartë nënkupton se të dhënat janë të vendosura në një grup më të madh vlerash.

Për shembull, lartësi mesatare për të moshuarit në SHBA është rreth 178 cm si devijim standard është rreth 8 cm. Kjo do të thotë që shumica e njerëzve (rreth 68%, duke marrë shpërndarje normale) të ketë një gamë lartësie me ndryshim deri në 8 cm nga do të thotë ( dmth në varg 170-186 cm), ndërkohë që pothuajse të gjithë njerëzit (rreth 95%) kanë një lartësi brenda devijimit me 15 cm pra ndërmjet (163-193 cm). Nëse devijimi standard është zero, atëherë lartësia e të gjithë njerëzve do të ishte pikërisht 178 cm. Nëse devijimi standart është 51 cm, kjo do të thotë se popullsia do të kenë lartësi të ndryshme, të shpërndara në varg prej rreth 127-229 cm.

Njehsimi matematikor

Llogaritja mund të thjeshtohet si më poshtë:

${\begin{aligned}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}&={}\sum _{i=1}^{N}(x_{i}^{2}-2x_{i}{\overline {x}}+{\overline {x}}^{2})\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-\left(2{\overline {x}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}\right)+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2{\overline {x}}(N{\overline {x}})+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-2N{\overline {x}}^{2}+N{\overline {x}}^{2}\\&{}=\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}\right)-N{\overline {x}}^{2}.\end{aligned}}$

që është, duke përdorur të gjitha formulat origjinale:

$\sigma ={\sqrt {{\frac {1}{N}}\left(\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-N{\overline {x}}^{2}\right)}}={\sqrt {{\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}x_{i}^{2}-{\overline {x}}^{2}}}.$

Që nga termi i parë nën rrënjë mund të shihen si vlera e pritur e x në katror, më shpesh shkruhet:

$\sigma ^{2}=\mathbb {E} [x^{2}]-(\mathbb {E} [x])^{2}$

Shiko edhe

• Devijimi
• Rrënja katrore