Rrënja katrore

Në matematikë, një rrënjë katrore e një numri $x$ është një numër $y$ i tillë që $y^{2}=x$ ; me fjalë të tjera, një numër $y$ katrori i të cilit (rezultati i shumëzimit të numrit me vetveten, ose $y\cdot y$ ) është $x$ . ^[1] Për shembull, 4 dhe −4 janë rrënjë katrore të 16 sepse $4^{2}=(-4)^{2}=16$ .

Çdo numër real jonegativ $x$ ka një rrënjë katrore unike jonegative, të quajtur rrënja katrore kryesore ose thjesht rrënjë katrore, e cila shënohet me ${\sqrt {x}},$ ku simboli " ${\sqrt {~^{~}}}$ " quhet shenja radikale ^[2] . Për shembull, për të shprehur faktin se rrënja kryesore katrore e 9 është 3, ne shkruajmë ${\sqrt {9}}=3$ . Termi (ose numri) rrënja katrore e të cilit po konsiderohet njihet si radikandi . Radikandi është numri ose shprehja nën shenjën radikale, në këtë rast, 9. Për $x$ jo-negative, rrënja katrore kryesore mund të shkruhet gjithashtu në shënimin e eksponentit, si $x^{1/2}$ .

Çdo numër pozitiv $x$ ka dy rrënjë katrore: ${\sqrt {x}}$ (që është pozitive) dhe $-{\sqrt {x}}$ (që është negative). Dy rrënjët mund të shkruhen më shkurt duke përdorur shenjën ± si $\pm {\sqrt {x}}$ . Megjithëse rrënja kryesore katrore e një numri pozitiv është vetëm një nga dy rrënjët e tij katrore, emërtimi " rrënja katrore" përdoret shpesh për t'iu referuar rrënjës katrore kryesore. ^[3] ^[4]

Historia[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Tableta prej balte YBC 7289 e Koleksionit Babilonas Yale u krijua midis 1800 para Krishtit dhe 1600 para Krishtit, duke treguar se ${\sqrt {2}}$ dhe ${\textstyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ përkatësisht janë (sipas tyre) 1;24,51,10 dhe 0;42,25,35 numra me bazë 60 në një katror të kryqëzuar nga dy diagonale. ^[5] (1;24,51,10) baza 60 korrespondon me 1,41421296, e cila është e saktë me 5 pikë dhjetore (1,41421356. . . ).

Papirusi matematikor Rhind është një kopje e vitit 1650 para Krishtit të një papirusi të mëparshëm të Berlinit dhe tekste të tjera – ndoshta Papirusi Kahun – që tregon se si egjiptianët nxorrën rrënjët katrore me metodën e përpjestimit të anasjelltë. ^[6]

Në Indinë e Lashtë, njohuria e aspekteve teorike dhe të zbatuara të rrënjës katrore dhe katrorit të një numri ishin të paktën aq të vjetër sa Sulba Sutras, të datuara rreth viteve 800-500 para Krishtit (ndoshta shumë më herët). ^[7] Një metodë për gjetjen e përafrimeve shumë të mira me rrënjët katrore të 2 dhe 3 është dhënë në Baudhayana Sulba Sutra . ^[8] Aryabhata, në Aryabhatiya (seksioni 2.4), ka dhënë një metodë për gjetjen e rrënjës katrore të numrave që kanë shumë shifra.

Grekët e lashtë e dinin se rrënjët katrore të numrave të plotë pozitivë që nuk janë katrorë të përsosur janë gjithmonë numra irracionalë : numrat që nuk shprehen si një raport prej dy numrash të plotë (d.m.th., ata nuk mund të shkruhen saktësisht si ${\frac {m}{n}}$ , ku m dhe n janë numra të plotë). Kjo është teorema Euklidi X, 9, pothuajse me siguri për shkak të Taetetusit që daton rreth vitit 380 para Krishtit. ^[9] Zbulimi i numrave irracionalë, duke përfshirë rastin e veçantë të rrënjës katrore të 2, lidhet gjerësisht me shkollën e Pitagorës. ^[10] ^[11]

Vetitë dhe përdorimet[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Funksioni kryesor i rrënjës katrore $f(x)={\sqrt {x}}$ (zakonisht i referuar vetëm si "funksioni i rrënjës katrore") është një funksion që hartëzon bashkësinë e numrave realë jonegativë në vetvete. Në terma gjeometrikë, funksioni i rrënjës katrore harton sipërfaqen e një katrori me gjatësinë e brinjës së tij.

Rrënja katrore e $x$ është racionale atëherë dhe vetëm atëherë nëse $x$ është një numër racional që mund të përfaqësohet si një raport i dy katrorëve të përsosur. Funksioni i rrënjës katrore i hartëzon numrat racionalë në numra algjebrikë, këta të fundit janë një mbibashkësi e numrave racionalë).

Për të gjithë numrat realë $x$ ,

f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.

dhe

{\sqrt {1+x}}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\cdots ,

Seria Tejlor e ${\sqrt {1+x}}$ rreth $x=0$ konvergjon për $|x|\leq 1$ , dhe jepet nga:

Gjethja e parë e rrënjës katrore komplekse

Gjethja e dytë e rrënjës katrore komplekse

Duke përdorur sipërfaqen Riman të rrënjës katrore, tregohet se si dy gjethen përshtaten së bashku

Shikoni dhe[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Referime[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

^ Gel'fand, p. 120 Gabim te stampa Webarchive: Mungon adresa e arkivimit.
^ "Squares and Square Roots". www.mathsisfun.com. Marrë më 2020-08-28. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick (2008). A First Course in Complex Analysis With Applications (bot. 2nd). Jones & Bartlett Learning. fq. 78. ISBN 978-0-7637-5772-4. Arkivuar nga origjinali më 2016-09-01. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Extract of page 78 Gabim te stampa Webarchive: Mungon adresa e arkivimit.
^ Weisstein, Eric W. "Square Root". mathworld.wolfram.com (në anglisht). Marrë më 2020-08-28.
^ "Analysis of YBC 7289". ubc.ca. Marrë më 19 janar 2015. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.
^ Seidenberg, A. (1961). "The ritual origin of geometry". Archive for History of Exact Sciences. 1 (5): 488–527. doi:10.1007/bf00327767. ISSN 0003-9519. Seidenberg (pp. 501-505) proposes: "It is the distinction between use and origin." [By analogy] "KEPLER needed the ellipse to describe the paths of the planets around the sun; he did not, however invent the ellipse, but made use of a curve that had been lying around for nearly 2000 years". In this manner Seidenberg argues: "Although the date of a manuscript or text cannot give us the age of the practices it discloses, nonetheless the evidence is contained in manuscripts." Seidenberg quotes Thibaut from 1875: "Regarding the time in which the Sulvasutras may have been composed, it is impossible to give more accurate information than we are able to give about the date of the Kalpasutras. But whatever the period may have been during which Kalpasutras and Sulvasutras were composed in the form now before us, we must keep in view that they only give a systematically arranged description of sacrificial rites, which had been practiced during long preceding ages." Lastly, Seidenberg summarizes: "In 1899, THIBAUT ventured to assign the fourth or the third centuries B.C. as the latest possible date for the composition of the Sulvasutras (it being understood that this refers to a codification of far older material)." {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Joseph, ch.8.
^ Heath, Sir Thomas L. (1908). The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. fq. 3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)
^ Craig Smorynski (2007). History of Mathematics: A Supplement (bot. illustrated, annotated). Springer Science & Business Media. fq. 49. ISBN 978-0-387-75480-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Extract of page 49
^ Brian E. Blank; Steven George Krantz (2006). Calculus: Single Variable, Volume 1 (bot. illustrated). Springer Science & Business Media. fq. 71. ISBN 978-1-931914-59-8. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Extract of page 71

Lidhjet e jashtme[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

[1] Gel'fand, p. 120 Gabim te stampa Webarchive: Mungon adresa e arkivimit.

[2] "Squares and Square Roots". www.mathsisfun.com. Marrë më 2020-08-28. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[3] Zill, Dennis G.; Shanahan, Patrick (2008). A First Course in Complex Analysis With Applications (bot. 2nd). Jones & Bartlett Learning. fq. 78. ISBN 978-0-7637-5772-4. Arkivuar nga origjinali më 2016-09-01. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Extract of page 78 Gabim te stampa Webarchive: Mungon adresa e arkivimit.

[4] Weisstein, Eric W. "Square Root". mathworld.wolfram.com (në anglisht). Marrë më 2020-08-28.

[5] "Analysis of YBC 7289". ubc.ca. Marrë më 19 janar 2015. {{cite web}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[6] Anglin, W.S. (1994). Mathematics: A Concise History and Philosophy. New York: Springer-Verlag.

[7] Seidenberg, A. (1961). "The ritual origin of geometry". Archive for History of Exact Sciences. 1 (5): 488–527. doi:10.1007/bf00327767. ISSN 0003-9519. Seidenberg (pp. 501-505) proposes: "It is the distinction between use and origin." [By analogy] "KEPLER needed the ellipse to describe the paths of the planets around the sun; he did not, however invent the ellipse, but made use of a curve that had been lying around for nearly 2000 years". In this manner Seidenberg argues: "Although the date of a manuscript or text cannot give us the age of the practices it discloses, nonetheless the evidence is contained in manuscripts." Seidenberg quotes Thibaut from 1875: "Regarding the time in which the Sulvasutras may have been composed, it is impossible to give more accurate information than we are able to give about the date of the Kalpasutras. But whatever the period may have been during which Kalpasutras and Sulvasutras were composed in the form now before us, we must keep in view that they only give a systematically arranged description of sacrificial rites, which had been practiced during long preceding ages." Lastly, Seidenberg summarizes: "In 1899, THIBAUT ventured to assign the fourth or the third centuries B.C. as the latest possible date for the composition of the Sulvasutras (it being understood that this refers to a codification of far older material)." {{cite journal}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[8] Joseph, ch.8.

[9] Heath, Sir Thomas L. (1908). The Thirteen Books of The Elements, Vol. 3. Cambridge University Press. fq. 3. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!)

[10] Craig Smorynski (2007). History of Mathematics: A Supplement (bot. illustrated, annotated). Springer Science & Business Media. fq. 49. ISBN 978-0-387-75480-2. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Extract of page 49

[11] Brian E. Blank; Steven George Krantz (2006). Calculus: Single Variable, Volume 1 (bot. illustrated). Springer Science & Business Media. fq. 71. ISBN 978-1-931914-59-8. {{cite book}}: Mungon ose është bosh parametri |language= (Ndihmë!) Extract of page 71

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]