Funksioni

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Diagram i funksionit me bashkësinë e fytyrave X = {1, 2, 3} dhe atë të shëmbëllimeve Y = {A, B, C, D}, e cila përkufizohet nga një bashkësi çiftesh të renditura {(1, D), (2, C), (3, C)} . Imazhi/Shtrirja është bashkësia {C, D} .



Ky diagram që përfaqëson një bashkësi çiftesh {(1,D), (2,B), (2,C)} , nuk është një funksion. Një arsye është sepse numri 2 është elementi i parë i më shumë se një çifti të renditur, (2, B) dhe (2, C), e kësaj bashkësie. Dy arsye të tjera janë sepse as 3 dhe as 4 nuk janë hyrje të ndonjë çifti të renditur.

matematikë, një funksion nga një bashkësi në një bashkësi i cakton secilit element të saktësisht një element të [1] Bashkësia quhet bashkësia e fytyrave [2] dhe bashkësia quhet bashkësia e shëmbëllimeve të funksionit. Një funksion më së shpeshti shënohet me shkronja të tilla si , dhe , dhe vlera e një funksioni në një element të domenit të tij shënohet me ; vlera numerike që rezulton nga vlerësimi i funksionit për një hyrje të caktuar merret duke zëvendësuar me këtë vlerë; për shembull, vlera e shënohet me . Kur funksioni nuk emërtohet dhe përfaqësohet nga një shprehje , vlera e funksionit, le të themi, mund të shënohet si . Për shembull, vlera në 4 e funksionit që hartëzon mund të shënohet me  (që jep 25).

Një funksion përfaqësohet në mënyrë unike nga bashkësia e të gjitha çifteve , të quajtura grafiku i funksionit, një mjet popullor për të ilustruar funksionin. [3] Kur fytyrat dhe shëmbëllimet janë bashkësi të numrave realë, çdo çift i tillë mund të konsiderohet si koordinatë karteziane të një pike në rrafsh.

Funksionet fillimisht ishin idealizimi i mënyrës sesi një madhësi e ndryshueshme varet nga një sasi tjetër. Për shembull, vendndodhja e një planeti është një funksion i kohës. Historikisht, koncepti u përpunua me llogaritjen pambarimisht të vogël në fund të shekullit të 17-të dhe, deri në shekullin e 19-të, funksionet që u morën parasysh ishin të diferencueshme. Koncepti i një funksioni u zyrtarizua në fund të shekullit të 19-të për sa i përket teorisë së grupeve, dhe kjo zgjeroi shumë fushat e zbatimit të konceptit.

Funksionet përdoren gjerësisht në shkencë, inxhinieri dhe në shumicën e fushave të matematikës. Është thënë se funksionet janë "objektet qendrore të hetimit" në shumicën e fushave të matematikës.

Lakorja e kuqe është grafiku i një funksioni, sepse çdo vijë vertikale ka vetëm një pikë kryqëzimi me kurbën.
Një funksion që lidh secilën nga katër format e ngjyrosura me ngjyrën e tij.

E ç'është funksioni?[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Një funksion nga një bashkësi në një bashkësi është një caktim i një elementi të për secilin element të . Bashkësia quhet fytyrat e funksionit dhe bashkësia quhet shëmbëllimet e funksionit.

Një funksion, fytyrat e tij dhe shëmbëllimet e tij deklarohen me shënimin , dhe vlera e një funksioni në një element , e shënuar me quhet imazhi i nën , ose vlera e e aplikuar në argumentin .

Dy funksione dhe janë të barabarta nëse bashkësitë e tyre të domenit dhe të kodominës janë të njëjta dhe vlerat e tyre të daljes bien dakord në të gjithë domenin. Më formalisht, duke pasur parasysh dhe , kemi f = g nëse dhe vetëm nëse për të gjithë . [4] 

Eksponenciali i bashkësisë[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Kompleti i të gjitha funksioneve nga një bashkësi në një bashkësi zakonisht shënohet si

e cila lexohet si në fuqinë .

Ky shënim është i njëjtë me shënimin për produktin kartezian të një familjeje kopjesh të indeksuar nga  :

Identiteti i këtyre dy shënimeve motivohet nga fakti se një funksion mund të identifikohet me elementin e prodhimit kartezian të tillë që komponenti i indeksit është .

Kur ka dy elemente, shënohet zakonisht dhe quhet grupi i fuqive i Mund të identifikohet me grupin e të gjitha nëngrupeve të , përmes korrespondencës një-për-një që lidhet me secilën nëngrup funksionin sikurse nëse dhe ndryshe.

Shënimi[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Shënimi funksional[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Në shënimin funksional, funksionit i jepet menjëherë një emër, si p.sh , dhe përkufizimi i tij jepet nga çfarë i bën hyrjes , duke përdorur një formulë në kufiza të . Për shembull, funksioni që merr një numër real si hyrje dhe nxjerr atë numër plus 1 shënohet me

.

Nëse një funksion përcaktohet me këtë shënim, fytyrat dhe shëmbëllimet e tij merren në mënyrë të heshtur si të dyja , bashkësia e numrave realë. Nëse formula nuk mund të vlerësohet në të gjithë numrat realë, atëherë fytyrat në mënyrë të heshtur merren si nëngrupi maksimal i mbi të cilën mund të vlerësohet formula.

Një shembull më i ndërlikuar është funksioni

.

Në këtë shembull, funksioni merr një numër real si hyrje, e ngre në katror, pastaj i shton 1 rezultatit, më pas merr sinusin e rezultatit dhe e kthen rezultatin përfundimtar si dalje.

Shënimi funksional u përdor për herë të parë nga Leonhard Euler në 1734. [5] Disa funksione të përdorura gjerësisht përfaqësohen nga një simbol i përbërë nga disa shkronja (zakonisht dy ose tre, përgjithësisht një shkurtim i emrit të tyre). Në këtë rast, në vend të kësaj përdoret zakonisht një tip romak, si p.sh. " sin " për funksionin sinus.

Shënimi i shigjetës[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Shënimi me shigjetë e përcakton rregullin e një funksioni në rresht. Për shëmbull, është funksioni që merr një numër real si hyrje dhe në dalje jep atë plus 1. Prapë bashkësitë nuk janë të dhëna kështu që implikohet .

Kjo përcakton një funksion sqr nga numrat e plotë në numrat e plotë që kthen katrorin e hyrjes së tij.

Shënimi i indeksit përdoret shpesh në vend të shënimit funksional. Kjo do të thotë, në vend që të shkruhet , shkruhet

Ky është zakonisht rasti për funksionet, fytyra e të cilëve është bashkësia e numrave natyrorë . Një funksion i tillë quhet varg, dhe, në këtë rast, element quhet elementi n i vargut.

Përcaktimi i një funksioni[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Me një formulë[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Funksionet shpesh përcaktohen nga një formulë që përshkruan një kombinim të veprimeve aritmetike dhe funksioneve të përcaktuara më parë; një formulë e tillë lejon llogaritjen e vlerës së funksionit nga vlera e çdo elementi të bashkësisë së fytyrave. Për shembull, në rastin e mësipërm, mund të përcaktohet me formulë , për .

Kur një funksion përcaktohet në këtë mënyrë, përcaktimi i fytyrave të tij ndonjëherë është i vështirë. Nëse formula që përcakton funksionin përmban pjesëtim, vlerat e ndryshores për të cilën emëruesi është zero duhet të përjashtohen nga fytyrat; Kështu, për një funksion të ndërlikuar, përcaktimi i fytyrave kalon përmes llogaritjes së zerove të funksioneve ndihmëse.

Për shembull, përcakton një funksion fytyra e të cilit është sepse është gjithmonë pozitive nëse është një numër real. Në anën tjetër, përcakton një funksion nga realet në reale fytyra e të cilave reduktohet në intervalin [ -1, 1 ] .

Funksionet shpesh klasifikohen sipas natyrës së formulave që i përcaktojnë ato:

  • Një funksion kuadratik është një funksion që mund të shkruhet ku a, b, c janë konstante .
  • Në përgjithësi, një funksion polinomial është një funksion që mund të përcaktohet nga një formulë që përfshin vetëm mbledhje, zbritje, shumëzime dhe ngritje në fuqi të fuqive jonegative. Për shembull, dhe janë funksione polinomiale të .
  • Një funksion racional është i njëjtë, duke lejuar edhe pjesëtimin, si p.sh dhe
  • Një funksion algjebrik është i njëjtë, me rrënjë të indeksit <i>n</i> dhe rrënjë të polinomeve të lejuara gjithashtu.
  • Një funksion elementar është i njëjtë, me logaritme dhe funksione eksponenciale të lejuara.

Funksionet e anasjellta dhe të nënkuptuara[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Një funksion me fytyrë dhe shëmbëllim , është bijektiv, nëse për çdo , ka një dhe vetëm një element të tillë që . Në këtë rast, funksioni i anasjelltë i është funksioni që hartat tek elementi të tillë që . Për shembull, logaritmi natyror është një funksion bijektiv nga numrat realë pozitivë në numrat realë. Kështu, ai ka një të anasjelltë, të quajtur funksioni eksponencial, që harton numrat realë në numrat pozitivë.

Nëse një funksion nuk është bijektiv, mund të ndodhë që të zgjidhet një nënbashkësi dhe i tillë që kufizimi i është një bijeksion nga , dhe kështu ka një invers. Funksionet trigonometrike të anasjellta përcaktohen në këtë mënyrë. Për shembull, funksioni kosinus indukton, duke e kufizuar, një bijeksion nga intervali në intervalin [ -1, 1 ] dhe funksioni i tij i kundërt, i quajtur arkkosinus, harton [ -1, 1 ] në . Funksionet e tjera trigonometrike të anasjellta janë përcaktuar në mënyrë të ngjashme.

Më përgjithësisht, duke pasur parasysh një lidhje binare ndërmjet dy grupeve dhe , le të jetë një nëngrup i i tillë që, për çdo aty ka disa të tilla që . Nëse dikush ka një kriter që lejon zgjedhjen e një të tillë për çdo kjo përcakton një funksion quhet funksion i nënkuptuar, sepse përkufizohet në mënyrë të nënkuptuar nga relacioni R.

Për shembull, ekuacioni i rrethit njësi përcakton një lidhje me numrat realë. Nëse −1 < x < 1 ka dy vlera të mundshme të y, një pozitive dhe një negative. Për x = ± 1, këto dy vlera bëhen të barabarta me 0. Përndryshe, nuk ka vlerë të mundshme të y . Kjo do të thotë se ekuacioni përcakton dy funksione të nënkuptuara me fytyra [ −1, 1 ] dhe shëmbëllimet përkatëse [ 0, +∞) dhe (−∞, 0] .

Përdorimi i llogaritjes diferenciale[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Shumë funksione mund të përkufizohen si integrale të pacaktuara të një funksioni tjetër. Ky është rasti i logaritmit natyror, i cili është integrali i pacaktuar i që është 0 për x = 1 . Një shembull tjetër i zakonshëm është funksioni i gabimit .

Përfaqësimi i një funksioni[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Një grafik përdoret zakonisht për të dhënë një pamje intuitive të një funksioni. Si shembull se si një grafik ndihmon për të kuptuar një funksion, është e lehtë të shihet nga grafiku i tij nëse një funksion është në rritje apo në rënie. Disa funksione mund të përfaqësohen gjithashtu nga grafikët me shtylla .

Grafikët dhe plotet[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Funksioni që hartëzon çdo vit me numrin e vdekjeve të automjeteve motorike në SHBA, i paraqitur si një tabelë vijash

Jepet një funksion grafiku i tij është, formalisht, grupi

Në rastin e shpeshtë kur X dhe Y janë nënbashkësi të numrave realë (ose mund të identifikohen me nënbashkësi të tilla, p.sh. intervale ), një element mund të identifikohet me një pikë që ka koordinata x, y në një sistem koordinativ 2-dimensional, p.sh. rrafshin kartezian . Pjesë të kësaj mund të krijojnë një grafik që përfaqëson (pjesë të) funksionit. Përdorimi i grafikëve është aq i kudondodhur sa edhe ato quhen grafiku i funksionit .

Përbërja e funksionit[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Jepen dy funksione dhe të tillë që fytyra e është shëmbëllimi i , përbërja e tyre është funksioni i përcaktuar nga

Kjo dmth se vlera e fitohet duke zbatuar fillimisht f në x për të marrë dhe më pas duke zbatuar g në rezultatin y për të marrë . Në shënim funksioni që zbatohet i pari shkruhet gjithmonë djathtas.

Grafiku i një funksioni linear

Përbërja është një veprim mbi funksionet që përcaktohet vetëm nëse shëmbëllimi i funksionit të parë është fytyra e të dytit. Edhe kur të dyja dhe plotësojnë këto kushte, përbërja nuk është domosdoshmërisht ndërruese, domethënë funksionet dhe nuk duhet të jetë të barabartë, por mund të japin vlera të ndryshme për të njëjtin argument. Për shembull, le të jenë dhe , atëherë dhe janë njëlloj vetëm për

Përbërja e funksionit është shoqëruese në kuptimin që, nëse një nga dhe përkufizohet, pastaj përkufizohet edhe tjetra dhe janë të barabarta. Kështu, shkruhet

Imazhi dhe paraimazhi[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Le të jetë Imazhi nën fi një elementi x të fytyrave X është f(x). Nëse A është një nënbashkësi eX, atëherë imazhi i A nën f, i shënuar f(A), është nënbashkësia e shëmbëllimeve Y që përmban të gjitha imazhet e eëementëve të A, që dmth:

Imazhi i është imazhi i të gjithë domenit, domethënë . [18] Quhet gjithashtu diapazoni i , [6]

Nga ana tjetër, imazhi i anasjelltë ose paraimazhi nën i një elementi y të shëmbëllimit është bashkësia e të gjithë elementëve të domenit , imazhet e të cilëve nën janë të barabarta y. Në simbole, paraimazhi i y -së shënohet me dhe jepet nga ekuacioni

Po kështu, paraimazhi i një nënbashkësie të shëmbëllimit është bashkësia e paraimazheve të elementeve të , domethënë është nënbashkësia e fytyrave që përbëhet nga të gjithë elementët e , imazhet e të cilit i përkasin . Shënohet me

Grafiku i një funksioni polinomial, këtu një funksion kuadratik.

dhe jepet nga ekuacioni

Për shembull, paraimazhi i nën funksionin katror është bashkësia .

Funksionet injektive, syrjektive dhe bijektive[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Le të jetë një funksion.

Funksioni është injektiv (ose një-me-një, ose është një injeksion ) nëse për çdo dy elementë të ndryshme dhe . Në mënyrë të njëvlershme, është injektiv atëherë dhe vetëm atëherë kur për ndonjë paraimazhi përmban të shumtën një element. Një funksion bosh është gjithmonë injektiv. Nëse nuk është grupi bosh, atëherë f është injektiv nëse dhe vetëm nëse ekziston një funksion sikurse domethënë, nëse ka një invers të majtë . Vërtetim : Nëse f është injektiv, për përcaktimin e g, zgjidhet një element (i cili ekziston pasi X supozohet të jetë jo bosh), dhe njëri përcakton g me nëse dhe nëse Në të kundërt, nëse dhe pastaj dhe kështu

Grafiku i dy funksioneve trigonometrike: sinusit dhe kosinusit .

Funksioni është surjektiv (ose mbi, ose është një surjeksion ) nëse diapazoni i tij barazohet me shëmbëllimin e tij , domethënë nëse, për secilin element të shëmbëllimit, ekziston një element i fytyrave i tillë që (me fjalë të tjera, paraimazhi të çdo nuk është bosh). Nëse, si zakonisht në matematikën moderne, supozohet aksioma e zgjedhjes, atëherë është surjektiv nëse dhe vetëm nëse ekziston një funksion sikurse domethënë, nëse ka një të anasjelltë të drejtë .

Funksioni është bijektiv (ose është një bijeksion ose një korrespodencë një-për-një ) nëse është edhe injektiv edhe surjektiv. Kjo do të thotë, është bijektiv nëse, për ndonjë paraimazhi përmban saktësisht një element. Funksioni është bijektiv nëse dhe vetëm nëse pranon një funksion të anasjelltë, domethënë një funksion sikurse dhe

Referime[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

  1. ^ Halmos 1970, p. 30; the words map, mapping, transformation, correspondence, and operator are often used synonymously.
  2. ^ Halmos 1970
  3. ^ "function | Definition, Types, Examples, & Facts". Encyclopedia Britannica (në anglisht). Marrë më 2020-08-17.
  4. ^ "Functions - Composition and Inverse | Duke University - KeepNotes". keepnotes.com (në anglisht). Marrë më 2023-08-09.
  5. ^ Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010), Calculus of a Single Variable (në anglisht), Cengage Learning, fq. 19, ISBN 978-0-538-73552-0
  6. ^ Quantities and Units - Part 2: Mathematical signs and symbols to be used in the natural sciences and technology, p. 15. ISO 80000-2 (ISO/IEC 2009-12-01)

Referime[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Lexo më shumë[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]