Funksioni i anasjelltë

Një funksion $f$ dhe inversi i tij $f^{-1}$ . Për shkak se $f$ pasqyron a në 3, inversi $f^{-1}$ e paraqet 3 në a .

Në matematikë, funksioni i anasjelltë i një funksioni $f$ (i quajtur edhe inversi i $f$ ) është një funksion që zhbën veprimin e $f$ . Inversi i $f$ ekziston nëse dhe vetëm nëse $f$ është bijektiv, dhe nëse ekziston, shënohet me $f^{-1}.$

Për një funksion $f\colon X\to Y$, e anasjellta e saj $f^{-1}\colon Y\to X$ pranon një përshkrim të qartë: ai dërgon çdo element $y\in Y$ tek elementi unik $x\in X$ e tillë që $f(x)=y$ .

Si shembull, merrni parasysh funksionin me vlerë reale të një ndryshoreje reale të dhënë nga $f(x)=5x-7$ . Mund të mendohet $f$ si funksioni i cili shumëzon hyrjen e tij ($x$)me 5 dhe më pas zbret 7 nga rezultati. Për ta zhbërë këtë, shtohet 7 në hyrje, pastaj rezultati pjesëtohet me 5. Prandaj, inversi i $f$ është funksioni $f^{-1}\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ përcaktuar nga $f^{-1}(y)={\frac {y+7}{5}}.$

Përkufizimet

Nëse $f$ hartëzon $X$ në $Y$, atëherë $f^{-1}$ hartëzon $Y$ përsëri në $X$ .

Le të jetë $f$ një funksion domeni i të cilit është bashkësia $X$ dhe kodomani i të cilit është bashkësia $Y$ . Atëherë $f$ është i kthyeshëm nëse ekziston një funksion $g$ nga $Y$ në X i tillë që $g(f(x))=x$ per te gjithe $x\in X$ dhe $f(g(y))=y$ për të gjitha $y\in Y$ .

Nëse $f$ është i kthyeshëm, atëherë ekziston saktësisht një funksion $g$ që plotëson këtë veti. Funksioni $g$ quhet inversi i $f$, dhe zakonisht shënohet si $f^{-1}$, një shënim i prezantuar nga John Frederick William Herschel në 1813.

Funksioni f është i kthyeshëm nëse dhe vetëm nëse është bijektiv. Kjo për shkak se kushti $g(f(x))=x$ për të gjitha $x\in X$ nënkupton që $f$ është injektiv, dhe kushti $f(g(y))=y$ për të gjitha $y\in Y$ do të thotë se $f$ është syrjektiv .

Funksioni i anasjelltë f −1 në f mund të përshkruhet në mënyrë eksplicite si funksion

$f^{-1}(y)=({\text{elementi unik }}x\in X{\text{ i tillë që }}f(x)=y)$ .

I anasjellti dhe përbërja

Kujtoni se nëse $f$ është një funksion i kthyeshëm me fytyrë $X$ dhe shëmbëllim $Y$, atëherë

$f^{-1}\left(f(x)\right)=x$, për çdo $x\in X$ dhe $f\left(f^{-1}(y)\right)=y$ për çdo $y\in Y$ .

Duke përdorur përbërjen e funksioneve, kjo shpallje mund të rishkruhet në ekuacionet e mëposhtme midis funksioneve:

$f^{-1}\circ f=\operatorname {id} _{X}$ dhe $f\circ f^{-1}=\operatorname {id} _{Y},$

Shëmbuj

Funksioni kuadratik dhe rrënja katrore

Funksioni $f:R\to [0,\infty ]$ i dhënë nga $f(x)=x^{2}$ nuk është injektiv sepse $(-x)^{2}=x^{2}$ per te gjithe $x\in \mathbb {R}$ . Prandaj, $f$ nuk është i kthyeshëm.

Nëse bashkësia e fytyrave të funksionit është e kufizuar në numrat realë jonegative, domethënë, ne marrim funksionin $f\colon [0,\infty )\to [0,\infty );\ x\mapsto x^{2}$ me të njëjtin rregull si më parë, atëherë funksioni është bijektiv dhe kështu, i kthyeshëm. Funksioni i anasjelltë këtu quhet funksioni i rrënjës katrore (pozitiv) dhe shënohet me $x\mapsto {\sqrt {x}}$ .

Funksionet standarde të anasjellta

Tabela e mëposhtme tregon disa funksione standarde dhe të kundërtët e tyre:

Funksionet e anasjellta aritmetike

Funksioni $f(x)$	Inversi $f^{-1}(y)$	Shënime
$x+a$	$y-a$
$a-x$	$a-y$
$mx$		$m\neq 0$
$1/x$	(dmth $y^{-1},$ )	$x,y\neq 0$
$x^{2}$	${\sqrt {y}}$ (dmth $y^{1/2}$ )	vetëm $x,y\geq 0$
$x^{3}$	${\sqrt[{3}]{y}}$ (dmth $y^{1/3}$ )	asnjë kufizim për $x$ dhe $y$
$x^{p}$	${\sqrt[{p}]{y}}$ (dmth $y^{1/p}$ )	$x,y\geq 0$ nëse $p$ është çift; numër i plotë $p>0$
$2^{x}$	$\log _{2}y$	$y>0$
$e^{x}$	$\ln y$	$y>0$
$10^{x}$	$\log y,$	$y>0$
$a^{x}$	$\log _{a}y$	$y>0$ dhe $a>0$
x e x	$W(y)$	$x\geq -1$ dhe $y\geq -1/e$
funksionet trigonometrike	funksionet e anasjellta trigonometrike	kufizime të ndryshme (shih tabelën më poshtë)
funksionet hiperbolike	funksionet hiperbolike të anasjellta	kufizime të ndryshme

Anasjellta e $g\circ f$ është $f^{-1}\circ g^{-1}$ .