Jump to content

Funksioni i anasjelltë

Nga Wikipedia, enciklopedia e lirë
Një funksion dhe inversi i tij . Për shkak se pasqyron a në 3, inversi e paraqet 3 në a .

matematikë, funksioni i anasjelltë i një funksioni (i quajtur edhe inversi i ) është një funksion që zhbën veprimin e . Inversi i ekziston nëse dhe vetëm nëse është bijektiv, dhe nëse ekziston, shënohet me

Për një funksion , e anasjellta e saj pranon një përshkrim të qartë: ai dërgon çdo element tek elementi unik e tillë që .

Si shembull, merrni parasysh funksionin me vlerë reale të një ndryshoreje reale të dhënë nga . Mund të mendohet si funksioni i cili shumëzon hyrjen e tij ()me 5 dhe më pas zbret 7 nga rezultati. Për ta zhbërë këtë, shtohet 7 në hyrje, pastaj rezultati pjesëtohet me 5. Prandaj, inversi i është funksioni përcaktuar nga

Përkufizimet[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Nëse hartëzon , atëherë hartëzon përsëri në .

Le të jetë një funksion domeni i të cilit është bashkësia dhe kodomani i të cilit është bashkësia . Atëherë është i kthyeshëm nëse ekziston një funksion nga në X i tillë që per te gjithe dhe për të gjitha . [1]

Nëse është i kthyeshëm, atëherë ekziston saktësisht një funksion që plotëson këtë veti. Funksioni quhet inversi i , dhe zakonisht shënohet si , një shënim i prezantuar nga John Frederick William Herschel në 1813.

Funksioni f është i kthyeshëm nëse dhe vetëm nëse është bijektiv. Kjo për shkak se kushti për të gjitha nënkupton që është injektiv, dhe kushti për të gjitha do të thotë se është syrjektiv .

Funksioni i anasjelltë f −1 në f mund të përshkruhet në mënyrë eksplicite si funksion

.

I anasjellti dhe përbërja[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Kujtoni se nëse është një funksion i kthyeshëm me fytyrë dhe shëmbëllim , atëherë

, për çdo dhe për çdo .

Duke përdorur përbërjen e funksioneve, kjo shpallje mund të rishkruhet në ekuacionet e mëposhtme midis funksioneve:

dhe

Shëmbuj[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Funksioni kuadratik dhe rrënja katrore[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Funksioni i dhënë nga nuk është injektiv sepse per te gjithe . Prandaj, nuk është i kthyeshëm.

Nëse bashkësia e fytyrave të funksionit është e kufizuar në numrat realë jonegative, domethënë, ne marrim funksionin me të njëjtin rregull si më parë, atëherë funksioni është bijektiv dhe kështu, i kthyeshëm. [2] Funksioni i anasjelltë këtu quhet funksioni i rrënjës katrore (pozitiv) dhe shënohet me .

Funksionet standarde të anasjellta[Redakto | Redakto nëpërmjet kodit]

Tabela e mëposhtme tregon disa funksione standarde dhe të kundërtët e tyre:

Funksionet e anasjellta aritmetike
Funksioni Inversi Shënime
(dmth )
(dmth ) vetëm
(dmth ) asnjë kufizim për dhe
(dmth ) nëse është çift; numër i plotë
dhe
x e x dhe
funksionet trigonometrike funksionet e anasjellta trigonometrike kufizime të ndryshme (shih tabelën më poshtë)
funksionet hiperbolike funksionet hiperbolike të anasjellta kufizime të ndryshme
Anasjellta e është .
  1. ^ Weisstein, Eric W. "Inverse Function". mathworld.wolfram.com (në anglisht). Marrë më 2020-09-08.
  2. ^ Lay 2006, p. 69, Example 7.24