Funksionet hiperbolike

Në matematikë, funksionet hiperbolike janë analoget e funksioneve të zakonshme trigonometrike, por të përcaktuara duke përdorur hiperbolën dhe jo rrethin . Ashtu si pikat (cos t, sin t) formojnë një rreth njësi, pikat (cosh t, sinh t) formojnë gjysmën e djathtë të hiperbolës njësi . Gjithashtu, në mënyrë të ngjashme me mënyrën se si derivatet e sin(t) dhe cost(t) janë përkatësisht cost(t) dhe -sin(t), derivatet e sinh(t) dhe cosh(t) janë cosh(t) dhe sinh(t) respektivisht.

Funksionet hiperbolike hasen në llogaritjet e këndeve dhe largësive në gjeometrinë hiperbolike . Ato hasen gjithashtu në zgjidhjet e shumë ekuacioneve diferenciale lineare (siç është ekuacioni që përcakton një katenare ), ekuacionet kubike dhe ekuacioni i Laplasit në koordinata karteziane . Ekuacionet e Laplasit janë të rëndësishme në shumë fusha të fizikës, duke përfshirë teorinë elektromagnetike, transferimin e nxehtësisë, dinamikën e lëngjeve dhe relativitetin special .

Funksionet themelore hiperbolike janë:

• sinusi hiperbolik " sinh " ,
• kosinusi hiperbolik " cosh ",

nga të cilat rrjedhin:

• tangjenti hiperbolik " tanh ",
• kotangjenti hiperbolik " coth ",

që u përkojnë funksioneve trigonometrike të prejardhura.

Funksionet hiperbolike të anasjellta janë:

• sinusi hiperbolik i zonës " arsinh " (i shënuar gjithashtu " sinh−1 ", " asinh " ose ndonjëherë " arcsinh ")
• kosinusi hiperbolik i zonës " arcosh " (i shënuar gjithashtu " cosh−1 ", " acosh " ose ndonjëherë " arccosh ")
• e kështu me radhë.

Një rreze përmes hiperbolës njësi $x^{2}-y^{2}=1$ në pikën $(\cosh a,\sinh a)$, ku $a$ është dyfishi i sipërfaqes ndërmjet rrezes, hiperbolës dhe boshtit x . Për pikat në hiperbolën nën boshtin x, zona konsiderohet negative (shih versionin e animuar me krahasimin me funksionet trigonometrike (rrethore)).

Funksionet hiperbolike marrin një argument real të quajtur kënd hiperbolik . Madhësia e një këndi hiperbolik është dyfishi i sipërfaqes së sektorit të tij hiperbolik . Funksionet hiperbolike mund të përcaktohen në termat e këmbëve të një trekëndëshi kënddrejtë që mbulon këtë sektor.

Në analizën komplekse, funksionet hiperbolike lindin kur zbatohen funksionet e zakonshme të sinusit dhe kosinusit në një kënd imagjinar. Sinusi hiperbolik dhe kosinusi hiperbolik janë funksione të tëra . Si rezultat, funksionet e tjera hiperbolike janë meromorfike në të gjithë planin kompleks.

Funksionet hiperbolike u prezantuan në vitet 1760 në mënyrë të pavarur nga Vincenzo Riccati dhe Johann Heinrich Lambert . Riccati përdori Sc. dhe Cc. ( sinus/cosinus circulare) për t'iu referuar funksioneve rrethore dhe Sh. dhe Ch. ( sinus/cosinus hyperbolico ) për t'iu referuar funksioneve hiperbolike. Lambert miratoi emrat, por ndryshoi shkurtesat në ato që përdoren sot. Aktualisht përdoren edhe shkurtesat sh, ch, th, cth, në varësi të preferencës personale.

Përkufizimet

sinh, cosh dhe tanh

csch, sech dhe coth

Ka mënyra të ndryshme ekuivalente për të përcaktuar funksionet hiperbolike.

Përkufizimet eksponenciale

$\sinh x$ është gjysma e ndryshesës së $e^{x}$ dhe $e^{-x}$

$\cosh x$ është mesatarja e $e^{x}$ dhe $e^{-x}$

Për sa i përket funksionit eksponencial :

• Sinusi hiperbolik: pjesa teke e funksionit eksponencial, d.m.th.
  $$\sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}-1}{2e^{x}}}={\frac {1-e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$$
• Kosinusi hiperbolik: pjesa çifte e funksionit eksponencial, d.m.th.
  $$\cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}={\frac {e^{2x}+1}{2e^{x}}}={\frac {1+e^{-2x}}{2e^{-x}}}.$$
• Tangjenti hiperbolik:
  $$\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}.$$
• Kotangjenti hiperbolik: për x ≠ 0 ,
  $$\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}.$$
• Sekanti hiperbolik:
  $$\operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}+1}}.$$
• Kosekanti hiperbolik: për x ≠ 0 ,
  $$\operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {2e^{x}}{e^{2x}-1}}.$$

Përkufizimet e ekuacioneve diferenciale

Funksionet hiperbolike mund të përkufizohen si zgjidhje të ekuacioneve diferenciale : Sinusi dhe kosinusi hiperbolik janë zgjidhja $(s,c)$ e sistemit.

$${\begin{aligned}c'(x)&=s(x),\\s'(x)&=c(x),\\\end{aligned}}$$

me kushtet fillestare $s(0)=0,c(0)=1.$ Kushtet fillestare e bëjnë zgjidhjen unike; pa to çdo çift funksionesh $(ae^{x}+be^{-x},ae^{x}-be^{-x})$ do të ishte një zgjidhje.

$\sinh(x)$ dhe $\cosh(x)$ janë gjithashtu zgjidhja unike e ekuacionit $f''(x)=f(x)$, e tillë që $f(0)=1,f'(0)=1$ për kosinusin hiperbolik dhe $f(0)=0,f'(0)=1$ për sinusin hiperbolik.

Përkufizimet komplekse trigonometrike

Funksionet hiperbolike mund të nxirren gjithashtu nga funksionet trigonometrike me argumente komplekse :

• Sinusi hiperbolik:
  $$\sinh x=-i\sin(ix).$$
• Kosinusi hiperbolik:
  $$\cosh x=\cos(ix).$$
• Tangjenti hiperbolik:
  $$\tanh x=-i\tan(ix).$$
• Kotangjenti hiperbolik:
  $$\coth x=i\cot(ix).$$
• Sekanti hiperbolik:
  $$\operatorname {sech} x=\sec(ix).$$
• Kosekanti hiperbolik:
  $$\operatorname {csch} x=i\csc(ix).$$

ku $i$ është njësia imagjinare me $i^{2}=-1$ .

Vetitë karakterizuese

Kosinusi hiperbolik

Mund të tregohet se zona nën lakoren e kosinusit hiperbolik (mbi një interval të fundëm) është gjithmonë e barabartë me gjatësinë e harkut që i korrespondon atij intervali:

$${\text{area}}=\int _{a}^{b}\cosh x\,dx=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {d}{dx}}\cosh x\right)^{2}}}\,dx={\text{arc length.}}$$

Tangjenti hiperbolik

Tangjenti hiperbolik është zgjidhja (unike) e ekuacionit diferencial $f'=1-f^{2}$, me $f(0)=0$ .

Marrëdhënie të dobishme

Funksionet hiperbolike kënaqin shumë identitete, të gjitha të ngjashme në formë me identitetet trigonometrike . Në fakt, rregulli i Osbornit thotë se mund të konvertohet çdo identitet trigonometrik për $\theta$, $2\theta$, $3\theta$ ose $\theta$ dhe $\varphi$ në një identitet hiperbolik, duke e zgjeruar plotësisht në termat e fuqive integrale të sinuseve dhe kosinuseve, duke ndryshuar sinusin në sinh dhe kosinusin në cosh dhe duke ndryshuar shenjën e çdo termi që përmban një produkt prej dy funksionesh sinh.

Funksionet tek dhe çift:

$${\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\end{aligned}}$$

Prandaj:

$${\begin{aligned}\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}$$

Kështu, $\cosh x$ dhe ${\text{sech}}(x)$ janë funksione çift ; të tjerët janë funksione tek .

$${\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {1}{x}}\right)\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} \left({\frac {1}{x}}\right)\end{aligned}}$$

Sinusi dhe kosinusi hiperbolik kënaqin:

$${\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\\\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x&=1\end{aligned}}$$

e fundit prej të cilave është e ngjashme me identitetin trigonometrik të Pitagorës .

Shumat e argumenteve

$${\begin{aligned}\sinh(x+y)&=\sinh x\cosh y+\cosh x\sinh y\\\cosh(x+y)&=\cosh x\cosh y+\sinh x\sinh y\\[6px]\tanh(x+y)&={\frac {\tanh x+\tanh y}{1+\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}$$

veçanërisht

$${\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\\\tanh(2x)&={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}\\\end{aligned}}$$

Gjithashtu:

$${\begin{aligned}\sinh x+\sinh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x+\cosh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\cosh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}$$

Formulat e zbritjes

$${\begin{aligned}\sinh(x-y)&=\sinh x\cosh y-\cosh x\sinh y\\\cosh(x-y)&=\cosh x\cosh y-\sinh x\sinh y\\\tanh(x-y)&={\frac {\tanh x-\tanh y}{1-\tanh x\tanh y}}\\\end{aligned}}$$

Gjithashtu:

$${\begin{aligned}\sinh x-\sinh y&=2\cosh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\cosh x-\cosh y&=2\sinh \left({\frac {x+y}{2}}\right)\sinh \left({\frac {x-y}{2}}\right)\\\end{aligned}}$$

Formulat e gjysëm këndit

$${\begin{aligned}\sinh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\sqrt {2(\cosh x+1)}}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{2}}}\\[6px]\cosh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\sqrt {\frac {\cosh x+1}{2}}}\\[6px]\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)&={\frac {\sinh x}{\cosh x+1}}&&=\operatorname {sgn} x\,{\sqrt {\frac {\cosh x-1}{\cosh x+1}}}={\frac {e^{x}-1}{e^{x}+1}}\end{aligned}}$$

ku $\operatorname {sgn}$ është funksioni i shenjës .

Nëse $x\neq 0$, atëherë

$$\tanh \left({\frac {x}{2}}\right)={\frac {\cosh x-1}{\sinh x}}=\coth x-\operatorname {csch} x$$

Formulat e linearizimit

$${\begin{aligned}\sinh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x-1)\\\cosh ^{2}x&={\tfrac {1}{2}}(\cosh 2x+1)\end{aligned}}$$

Mosbarazimet

Mosbarazimi i mëposhtëm është i dobishëm në statistikë: $\operatorname {cosh} (t)\leq e^{t^{2}/2}$

Funksionet e anasjellta si logaritme

$${\begin{aligned}\operatorname {arsinh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)\\\operatorname {arcosh} (x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)&&x\geq 1\\\operatorname {artanh} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)&&|x|<1\\\operatorname {arcoth} (x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right)&&|x|>1\\\operatorname {arsech} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}-1}}\right)=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right)&&0<x\leq 1\\\operatorname {arcsch} (x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\sqrt {{\frac {1}{x^{2}}}+1}}\right)&&x\neq 0\end{aligned}}$$

Derivatet

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sinh x&=\cosh x\\{\frac {d}{dx}}\cosh x&=\sinh x\\{\frac {d}{dx}}\tanh x&=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x={\frac {1}{\cosh ^{2}x}}\\{\frac {d}{dx}}\coth x&=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-{\frac {1}{\sinh ^{2}x}}&&x\neq 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {sech} x&=-\tanh x\operatorname {sech} x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {csch} x&=-\coth x\operatorname {csch} x&&x\neq 0\end{aligned}}$$

$${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} x&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}&&1<x\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&|x|<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} x&={\frac {1}{1-x^{2}}}&&1<|x|\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} x&=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}&&0<x<1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} x&=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {1+x^{2}}}}}&&x\neq 0\end{aligned}}$$

Derivatet e dyta

Secili prej funksioneve $\sinh$ dhe $\cosh$ është i barabartë me derivatin e tij të dytë, që është:

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\sinh x=\sinh x$$

$${\frac {d^{2}}{dx^{2}}}\cosh x=\cosh x\,.$$

Integrale standarde

$${\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\sinh(ax)\right|+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left|\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right|+C=a^{-1}\ln \left|\coth \left(ax\right)-\operatorname {csch} \left(ax\right)\right|+C=-a^{-1}\operatorname {arcoth} \left(\cosh \left(ax\right)\right)+C\end{aligned}}$$

Integralet e mëposhtme mund të vërtetohen duke përdorur zëvendësimin hiperbolik :

$${\begin{aligned}\int {{\frac {1}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}\,du}&=\operatorname {arsinh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {{\frac {1}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}\,du}&=\operatorname {sgn} {u}\operatorname {arcosh} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {artanh} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {1}{a^{2}-u^{2}}}\,du&=a^{-1}\operatorname {arcoth} \left({\frac {u}{a}}\right)+C&&u^{2}>a^{2}\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arsech} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\\\int {{\frac {1}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}\,du}&=-a^{-1}\operatorname {arcsch} \left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}$$

ku C është konstantja e integrimit .

Seritë e Tejlorit

Është e mundur të shprehet në mënyrë eksplicite seria Taylor në zero (ose seria Laurent, nëse funksioni nuk është i përcaktuar në zero) e funksioneve të mësipërme.

$$\sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$$

Kjo seri është konvergjente për çdo vlerë komplekse të $x$ . Meqenëse funksioni $\sinh x$ është tek, vetëm eksponentët tek për $x$ hasen në serinë e tij Tejlor.

$$\cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}$$

Kjo seri është konvergjente për çdo vlerë komplekse të $x$ . Meqenëse funksioni $\cosh x$ është çift, vetëm eksponentët çift për $x$ gjenden në serinë e tij Tejlor.

Seritë e mëposhtme pasohen nga një përshkrim i një nëngrupi të domenit të tyre të konvergjencës, ku seria është konvergjente dhe shuma e saj është e barabartë me funksionin.

$${\begin{aligned}\tanh x&=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\coth x&=x^{-1}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \\\operatorname {sech} x&=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {E_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\qquad \left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}\\\operatorname {csch} x&=x^{-1}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\qquad 0<\left|x\right|<\pi \end{aligned}}$$

ku:

• $B_{n}$ është numri n i Bernulit
• $E_{n}$ është numri n i Euler-it

Prodhimet e pafundme dhe thyesat e vazhdueshme

Zgjerimet e mëposhtme janë të vlefshme në të gjithë planin kompleks:

$\sinh x=x\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{n^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {x}{1-{\cfrac {x^{2}}{2\cdot 3+x^{2}-{\cfrac {2\cdot 3x^{2}}{4\cdot 5+x^{2}-{\cfrac {4\cdot 5x^{2}}{6\cdot 7+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

$\cosh x=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{(n-1/2)^{2}\pi ^{2}}}\right)={\cfrac {1}{1-{\cfrac {x^{2}}{1\cdot 2+x^{2}-{\cfrac {1\cdot 2x^{2}}{3\cdot 4+x^{2}-{\cfrac {3\cdot 4x^{2}}{5\cdot 6+x^{2}-\ddots }}}}}}}}$

$\tanh x={\cfrac {1}{{\cfrac {1}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {3}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {5}{x}}+{\cfrac {1}{{\cfrac {7}{x}}+\ddots }}}}}}}}$

Krahasimi me funksionet rrethore

Rrethi dhe tangjenta e hiperbolës në (1,1) shfaqin gjeometrinë e funksioneve rrethore në terma të sipërfaqes së sektorit rrethor $u$ dhe funksioneve hiperbolike në varësi të zonës së sektorit hiperbolik $u$ .

Funksionet hiperbolike paraqesin një zgjerim të trigonometrisë përtej funksioneve rrethore . Të dy llojet varen nga një argument, qoftë kënd rrethor ose kënd hiperbolik .

Meqenëse sipërfaqja e një sektori rrethor me rreze r dhe kënd u (në radianë) është $r^{2}u/2$, do të jetë e barabartë me $u$ kur $r={\sqrt {2}}$ . Në diagram, një rreth i tillë është tangjent me hiperbolën $xy=1$ në $(1,1)$. Sektori i verdhë përshkruan një sipërfaqe dhe madhësi këndi. Në mënyrë të ngjashme, sektorët e verdhë dhe të kuq së bashku përshkruajnë një sipërfaqe dhe madhësinë e këndit hiperbolik .

Këmbët e dy trekëndëshave kënddrejtë me hipotenuzë në rrezen që përcakton këndet janë me gjatësi √ 2 herë më shumë se funksionet rrethore dhe hiperbolike.

Këndi hiperbolik është një masë e pandryshueshme në lidhje me hartëzimin e shtrydhjes, ashtu si këndi rrethor është i pandryshueshëm nën rrotullim.

Grafiku i funksionit a cosh( x / a ) është katenarie, kurba e formuar nga një zinxhir fleksibël i njëtrajtshëm, i varur lirshëm midis dy pikave fikse nën gravitetin e njëtrajtshëm.

Funksionet hiperbolike për numrat kompleks

Funksionet hiperbolike në rrafshin kompleks

$\sinh(z)$	$\cosh(z)$	$\tanh(z)$	$\coth(z)$	$\operatorname {sech} (z)$	$\operatorname {csch} (z)$

Meqenëse funksioni eksponencial mund të përcaktohet për çdo argument kompleks, ne gjithashtu mund të zgjerojmë përkufizimet e funksioneve hiperbolike në argumente komplekse. Funksionet $\sinh z$ dhe $\cosh z$ janë holomorfikë .

Marrëdhëniet me funksionet e zakonshme trigonometrike jepen nga formula e Euler-it për numrat kompleks:

$${\begin{aligned}e^{ix}&=\cos x+i\sin x\\e^{-ix}&=\cos x-i\sin x\end{aligned}}$$

kështu që:

$${\begin{aligned}\cosh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)=\cos x\\\sinh(ix)&={\frac {1}{2}}\left(e^{ix}-e^{-ix}\right)=i\sin x\\\cosh(x+iy)&=\cosh(x)\cos(y)+i\sinh(x)\sin(y)\\\sinh(x+iy)&=\sinh(x)\cos(y)+i\cosh(x)\sin(y)\\\tanh(ix)&=i\tan x\\\cosh x&=\cos(ix)\\\sinh x&=-i\sin(ix)\\\tanh x&=-i\tan(ix)\end{aligned}}$$

Kështu, funksionet hiperbolike janë periodike në lidhje me përbërësin imagjinar, me periodë $2\pi i$ ( $\pi i$ për tangjentin hiperbolik dhe kotangjentin).

Shiko gjithashtu

• e (konstante matematikore)
• Teorema e rretheve të barabarta, bazuar në sinh
• Rritja hiperbolike
• Funksionet hiperbolike të anasjellta
• Lista e integraleve të funksioneve hiperbolike
• Spiralet e Poinsot
• Funksioni sigmoid
• Tangjenti hiperbolik i Sobolevës
• Funksionet trigonometrike