Rritja hiperbolike

Kur një madhësi rritet drejt një dase (pike këputje) nën një variacion të fundëm (një "dasë në kohë të fundme "), thuhet se i nënshtrohet rritjes hiperbolike . ^[1] Më saktësisht, funksioni reciprok $1/x$ paraqitet në plan si një hiperbolë, dhe ka një dasë në 0, që do të thotë se limiti kur $x\to 0$ është i pafundëm: çdo graf i ngjashëm thuhet se shfaq rritje hiperbolike.

Përshkrim

Nëse dalja e një funksioni është në përpjesëtim të zhdrejtë me hyrjen e tij, ose në përpjesëtim të zhdrejtë me ndryshesën nga një vlerë e dhënë $x_{0}$ , funksioni do të shfaqë rritje hiperbolike, me një pikë këputje në $x_{0}$ .

Në botën reale, rritja hiperbolike krijohet nga disa mekanizma jolinearë të reagimit pozitiv . ^[2]

Krahasimi me rritje të tjera

Ashtu si rritja eksponenciale dhe rritja logjistike, rritja hiperbolike është shumë jolineare, por ndryshon në aspekte të rëndësishme me këto të fundit. Këto funksione mund të ngatërrohen, pasi rritja eksponenciale, rritja hiperbolike dhe gjysma e parë e rritjes logjistike janë funksione të lugëta ; megjithatë sjellja e tyre asimptotike (sjellja kur argumenti bëhet i madh) ndryshon në mënyrë dramatike:

rritja logjistike është e kufizuar (ka një kufi të fundëm, edhe pse koha shkon në pafundësi),
rritja eksponenciale rritet në pafundësi ndërsa koha shkon në pafundësi (por është gjithmonë e fundme për kohën e fundme),
Rritja hiperbolike ka një dasë në kohë të fundme (rritet në pafundësi në një kohë të fundme).

Zbatimet

Popullatë

Disa modele matematikore sugjerojnë se deri në fillim të viteve 1970 popullsia botërore pati rritje hiperbolike (shih, p.sh., Hyrje në Makrodinamikën Sociale nga Andrey Korotayev et al. ). U tregua gjithashtu se deri në vitet 1970 rritja hiperbolike e popullsisë botërore u shoqërua me rritje kuadratike-hiperbolike të PBB-së botërore dhe u zhvilluan një sërë modelesh matematikore që përshkruanin si këtë dukuri, ashtu edhe tërheqjen e Sistemit Botëror nga regjimi i shpërthimit. vërejtur në dekadat e fundit. Rritja hiperbolike e popullsisë botërore dhe rritja kuadratike-hiperbolike e PBB-së botërore e vëzhguar deri në vitet 1970 janë lidhur nga Andrey Korotayev dhe kolegët e tij me një reagim pozitiv jolinear të rendit të dytë midis rritjes demografike dhe zhvillimit teknologjik, të përshkruar nga një zinxhir shkakësor: rritja teknologjike çon në më shumë nxënësi mbajtës të tokës për njerëzit, gjë që çon në më shumë njerëz, që çon në më shumë shpikës, gjë që nga ana tjetër çon në një rritje akoma më teknologjike, dhe me radhë. Është demonstruar gjithashtu se modelet hiperbolike të këtij lloji mund të përdoren për të përshkruar në një mënyrë mjaft të saktë rritjen e përgjithshme të ndërlikimit planetar të Tokës që nga 4 miliardë para Krishtit e deri më sot. ^[3] Modele të tjera sugjerojnë rritje eksponenciale, rritje logjistike ose funksione të tjera.

Kinetika e enzimave

Një shembull tjetër praktik i rritjes hiperbolike mund të gjendet në kinetikën e enzimave . Kur shkalla e reaksionit (e quajtur shpejtësia) ndërmjet një enzime dhe substratit vihet në grafik kundrejt përqendrimeve të ndryshme të substratit, për shumë sisteme më të thjeshta merret një grafik hiperbolik. Kur kjo ndodh, enzima thuhet se ndjek kinetikën Michaelis-Menten .

Shembull matematikor

Funksioni

x(t)={\frac {1}{t_{c}-t}}

shfaq rritje hiperbolike me një dasë në kohë $t_{c}$ : në kufi si $t\to t_{c}$ , funksioni shkon në pafundësi.

Në përgjithësi, funksioni

x(t)={\frac {K}{t_{c}-t}}

shfaq rritje hiperbolike, ku $K$ është një faktor i shkallëzimit .

Vini re se ky funksion algjebrik mund të konsiderohet si zgjidhje analitike për diferencialin e funksionit: ^[4]

{\frac {dx}{dt}}={\frac {K}{(t_{c}-t)^{2}}}={\frac {x^{2}}{K}}

Kjo do të thotë se me rritjen hiperbolike shpejtësia absolute e rritjes së ndryshores x në momentin t është proporcionale me katrorin e vlerës së x në momentin t .

Përkatësisht, funksioni kuadratik-hiperbolik duket si më poshtë:

x(t)={\frac {K}{(t_{c}-t)^{2}}}.

Shiko gjithashtu

^ See, e.g., Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. Introduction to Social Macrodynamics: Compact Macromodels of the World System Growth. Moscow: URSS Publishers, 2006. P. 19-20.
^ See, e.g., Alexander V. Markov, and Andrey V. Korotayev (2007). "Phanerozoic marine biodiversity follows a hyperbolic trend". Palaeoworld. Volume 16. Issue 4. Pages 311-318.
^ The 21st Century Singularity and its Big History Implications: A re-analysis. Journal of Big History 2/3 (2018): 71 - 118; see also The 21st Century Singularity and Global Futures. A Big History Perspective (Springer, 2020).
^ See, e.g., Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. Introduction to Social Macrodynamics: Compact Macromodels of the World System Growth. Moscow: URSS Publishers, 2006. P. 118-123.

[1] See, e.g., Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. Introduction to Social Macrodynamics: Compact Macromodels of the World System Growth. Moscow: URSS Publishers, 2006. P. 19-20.

[2] See, e.g., Alexander V. Markov, and Andrey V. Korotayev (2007). "Phanerozoic marine biodiversity follows a hyperbolic trend". Palaeoworld. Volume 16. Issue 4. Pages 311-318.

[3] The 21st Century Singularity and its Big History Implications: A re-analysis. Journal of Big History 2/3 (2018): 71 - 118; see also The 21st Century Singularity and Global Futures. A Big History Perspective (Springer, 2020).

[4] See, e.g., Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. Introduction to Social Macrodynamics: Compact Macromodels of the World System Growth. Moscow: URSS Publishers, 2006. P. 118-123.

[1]

[2]

[3]

[4]