Funksioni i shenjës

Funksioni i shenjës $y=\operatorname {sgn} x$

Në matematikë, funksioni i shenjës ose funksioni signum (nga signum, latinisht për "shenjë") është një funksion që kthen shenjën e një numri real . Në literaturën matematikore, funksioni i shenjës shpesh paraqitet si $\operatorname {sgn}(x)$ .

Përkufizimi

Funksioni i shenjës për një numër real $x$ është një funksion pjesë-pjesë i cili përcaktohet si më poshtë:

$$\operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}$$

Vetitë

Funksioni i shenjës nuk është i vazhdueshëm në $x=0$ .

Çdo numër real mund të shprehet si prodhim i vlerës së tij absolute dhe funksionit të tij të shenjës:

$$x=|x|\operatorname {sgn} x.$$

Nga kjo rrjedh se kur $x$ nuk është e barabartë me 0 marrim

$$\operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}\,.$$

Në mënyrë të ngjashme, për çdo numër real $x$ ,

$$|x|=x\operatorname {sgn} x.$$

Gjithashtu mund të konstatojmë se:

$$\operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}.$$

Funksioni i shenjës është derivat i funksionit të vlerës absolute, deri në (por pa përfshirë) papërcaktueshmërinë në zero. Më formalisht, në teorinë e integrimit është një derivat i dobët, dhe në teorinë e funksionit të lugët (konveks), nëndiferenciali i vlerës absolute në 0 është intervali $[-1,1]$, "plotësimi" i funksionit të shenjës (nëndiferenciali i vlerës absolute nuk ka një vlerë të vetme në 0). Vini re, fuqia rezultante e $x$ është 0, e ngjashme me derivatin e zakonshëm të $x$ . Numrat anulohen dhe gjithçka që na mbetet është shenja e $x$ .

$${\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x{\text{ for }}x\neq 0\,.$$

Funksioni i shenjës është i diferencueshëm me derivatin 0 kudo, përveç në 0. Nuk është i diferencueshëm në 0 në kuptimin e zakonshëm, por sipas nocionit të përgjithësuar të diferencimit në teorinë e shpërndarjes, derivati i funksionit të shenjës është dyfishi i funksionit delta i Dirakut, gjë e cila mund të demonstrohet duke përdorur identitetin

$$\operatorname {sgn} x=2H(x)-1\,,$$

ku $H(x)$ është funksioni i Hevisajdit duke përdorur formalizimin standard $H(0)={\frac {1}{2}}$. Duke përdorur këtë identitet, është e lehtë të nxirret derivati shpërndarës:

$${\frac {{\text{d}}\operatorname {sgn} x}{{\text{d}}x}}=2{\frac {{\text{d}}H(x)}{{\text{d}}x}}=2\delta (x)\,.$$

Transformimi Furier i funksionit shenjë është

$$\int _{-\infty }^{\infty }(\operatorname {sgn} x)e^{-ikx}{\text{d}}x=PV{\frac {2}{ik}},$$

ku $PV$ do të thotë marrjen e vlerës kryesore Cauchy .

Funksioni i shenjës për numrat kompleksë

Funksioni i shenjës mund të përgjithësohet në numra kompleks si:

$$\operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}$$

për çdo numër kompleks $z$ përveç $z=0$ . Shenja e një numri kompleks të dhënë $z$ është pika në rrethin njësi të rrafshit kompleks që është më afër $z$ . Pastaj, për $z\neq 0$ ,

$$\operatorname {sgn} z=e^{i\arg z}\,,$$

ku $\arg$ është funksioni i argumentit kompleks .